7.2.2. Критериальный анализ

Метод критериального анализа для технических применений на основе теории подобия был развит главным образом Вениковым. Существенные положения критериального анализа состоят в том, чтобы исследовать, как себя ведут решения при определенных изменениях входных величин и, в частности, на­сколько стабильными они остаются.

Системы или процессы называются подобными, если они формально описываются одной и той же математической мо­делью, а их переменные величины связаны между собой коэф­фициентами подобия. Например, подобие между величиной в рассматриваемом физическом процессе и соответству-ющей величиной в описывающей процесс модели определяется ко­эффициентом . На рис. 7.2 показаны подобные про­цессы при различных коэффициентах подобия .

Системы или процессы называются математически подоб­ными, если их можно описать подобными уравнениями.

Рис. 7.2. Ход функции ) при различных коэффициентах подобия

Подо­бие уравнений в свою очередь означает, что коэффициенты , , вкупе с параметрами и моде­лей удовлетворяют условию

. (7.11)

Для целевой функции исходной модели

, (7.12)

при дополнительных условиях

, , (7.13)

где – целевая функция;

– число слагаемых функции;

– число переменных;

– коэффициенты подобия;

– пере­менные;

– показатели степени;

– число дополнительных условий,

,

следует, например, задачу минимизации

решать, полагая

;

;

;

.

Уравнение (7.2) можно сокращенно записать в форме

, (7.14)

где

. (7.15)

Веса слагаемых относительно значения функции опреде­ляются уравнением

(7.16)

причем .

Благодаря этому нормированию по отношению к имеем:

(7.17)

откуда следует .

Соотношения весов оптимального варианта целевой функции определяют так называемую соразмерность. Критериальный анализ включает исследование хода целевой функции близ оптимума путем рассмотрения весов . Эти веса легко определить с помощью уравнений (7.6) и (7.7). Целе­вые функции с гладким максимумом следует рассматривать, как нечувствительные, а с острым максимумом – как чувстви­тельные. Путем задания допустимых отклонений определяется область нечувствительности целевой функции. Для этого варьируют входные величины в интервале неопределенности , и прослеживают с помощью уравнения (7.5) влияние этих ве­личин на целевую функцию. Если мы при этом не выходим из пределов нечувствительности, то недостатком информации мож­но пренебречь.

Особую ценность этот метод представляет, когда не поддаю­щимся учету факторам или техническим условиям при принятии решения отдается предпочтение и можно предполагать (хотя это я не удается сразу строго обосновать), что учет этих фак­торов и условий и с экономической точки зрения окажется по­лезным. Если с помощью критериального анализа удается по­казать, что даже при очень больших изменениях входных пара­метров решение остается нечувствительным, то можно считать задачу решенной. Такой путь весьма рационален. Часто при реализации полученного результата приходится считаться с жестко заданной стандартами шкалой параметров. Влияние та­кого отклонения при выборе ближайшего к результату допус­тимого по стандарту значения параметра также может быть надежно проконтролировано.

Критериальный анализ применим к целевым функциям, ко­торые можно представить уже приводившимся выше уравне­нием (7.3):

c определителем матрицы

,

, (7.18)