3.2. Применение гибкого критерия

Выбор оптимального варианта решения с использованием представленного в разд. 3.1 гибкого критерия удобно проиллю­стрировать на примере задачи управления каким-либо процес­сом. С целью упрощения хода рассуждений рассмотрим четыре варианта решения , , и из которых необходимо выб­рать оптимальный.

Таблица 3.1. Матрица значений оценочной функции для задачи управления технологическим процессом

	2,975			2,985
	2,98	3,00	3,02	2,98	3,00	3,02
	– 908	– 1096	– 1229	– 928	– 1089	– 1250
	– 911	– 1051	– 1191	– 941	– 1081	– 1222
	– 928	– 1048	– 1168	– 968	– 1088	– 1209
	– 959	– 1060	– 1160	– 1010	– 1110	– 1210

Процесс подвержен влиянию неопределенности параметров и , о которых известны только области их возможных значений: для и для . Область значений параметра разбита на два класса с пред­ставляющими их средними значениями 2,975 и 2,985, а область значений – на три класса со средними 2,98, 3,00 и 3,02. Для каждой из комбинаций этих величин в табл. 3.1 представлены результаты расчетов всех вариантов решения.

Предварительно на основании анализа рассматриваемого процесса была произведена выборка значений параметров. В табл. 3.2 сведены предельные оценки вероятностей и , вычисленные по формулам (2.17) для доверительных интерва­лов с учетом вероятности принятия ошибочного решения .

Таблица 3.2. Частоты реализации полученных из выборки значений параметров и и соответствующие доверительные характеристики

Объем выборки	80			120
Абсолютная частота	38	42	20	83	17
Относительная часто­та	0,475	0,525	0,1667	0,6916	0,1417
Верхняя граница до­верительного интер­вала	0,5462	0,5952	0,2146	0,7427	0,1873
Нижняя граница до­верительного интер­вала	0,4048	0,4538	0,1277	0,6354	0,1057

Первые три строки табл. 3.3 содержат, соответственно, зна­чения относительных частот для верхних и нижних границ вероятностей различных сочетаний исходных данных. Все эти значения получены по формулам (2.39) как произведения соответствующих частот и оценок вероятностей.

Таблица 3.3. Частоты реализации и оценки вероятности распределения

Параметров в заданных интервалах для выборки сочетаний исходных данных при (случай 1)

	0,0792	0,3286	0,0673	0,0875	0,3631	0,0744
	0,1172	0,4047	0,1023	0,1277	0,4421	0,1115
	0,0517	0,2572	0,0428	0,0580	0,2883	0,0480
	0,0517	0,2572	0,1023	0,0580	0,4193	0,1115

– средние значения вероятностей попадания сочетаний исходных данных в заданные интервалы, вычисленные на основании резуль­татов выборки;

– значения вероятностей нежелательных реализаций.

Так, например, первые три значения второго столбца таблицы, с учетом данных, приведенных в табл. 3.1 и 3.2, вычисляются следующим образом: 0,3286 = 0,475∙0,6916; 0,4047 = 0,5462∙0,742.7 и 0,2572 = 0,4048 – 0,6354. Четвертая строка табл. 3.3 содержит весовые множители , рассчитанные по формуле (2.18) для каждого из рассматриваемых шести сочетаний исходных данных и необходимые для вычисления эмпирического-доверительного фактора.

Для расчета эмпирико-прогностического фактора будем ис­пользовать формулы (2.30), (2.31) и (2.32), в результате чего получим значения, соответственно, границ для вероятностей , и весовых множителей . Результаты вычис­лений для числа реализаций приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4. Частоты реализации и оценки вероятности распределения параметров в заданных интервалах для выборки сочетаний исходных данных при (случай 2)

	0,2	0,6	0,2	0,2	0,8	0,2
	0	0	0	0	0,2	0
	0	0	0,2	0	0,6	0,2

Результаты табл. 3.5 отражают дальнейшие шаги в процессе выбора решения с использованием гибкого критерия. Первый столбец полностью совпадает с последним столбцом табл. 3.1. При этом видно, что результаты сохраняют ту же монотонность поведения в зависимости от внешних состояний для всех вариантов решения. Второй столбец содержит для всех четырех ва­риантов сумму произведений каждого из значений оценочной функции на относительную частоту реализации соответствую­щего сочетания исходных данных, приведенную в первой строке табл. 3.3. Аналогичным образом получены и два остальных столбца, только здесь в качестве относительных частот для соответствующих результатов решения выступают данные, при­веденные в последних строках табл. 3.3 и 3.4 соответственно.

Таблица 3.5. Числовые значения величин, используемых при применении гибкого критерия принятия решения

Вариант решения
	– 1250	– 1075,5	– 1097,4	– 1149,2
	– 1222	– 1063,5	– 1083,3	– 1131,2
	– 1209	– 1066,1	– 1084,4	– 1128,2
	– 1210	– 1083,8	– 1099,8	– 1140,0

Расчет эмпирического доверительного фактора выполняется по формуле (2.15); например, для варианта решения он ра­вен

,

а эмпирико-прогностический доверительный фактор вычисляет­ся по формуле (2.29); например, для варианта решения он равен

В табл. 3.6 сведены значения эмпирического и эмпирико-прог­ностического доверительных факторов, рассчитанные для каж­дого из четырех вариантов решения.

Таблица 3.6. Доверительные факторы для четырех вариантов решения

	0,8745	0,5577
	0,8750	0,5729
	0,8712	0,5654
	0,8732	0,5547

В первом случае, когда имеется представительная статисти­ческая выборка состояний исходных данных конечного объема и предстоит бесконечное число реализаций решения, его выбор выполняется согласно процедуре (3.1) следующим об­разом.

: Выполнение условия гарантировано совокупностью данных, представленных в табл. 3.1.

В соответствии с наиболее часто на практике встречающи­мися ситуациями ограничения на допустимый риск по и не заданы, поэтому остается только определить фактически возможный риск, а лицо, принимающее решение, должно опре­делить, допустима ли его величина.

: Применение эмпирических доверительных факторов (разд. 2.4.4) с вероятностью ошибочного решения ;

: При выражение в фигурных скобках оценочной функции (3.7) принимает вид формулы (2.43), поэтому можно считать равным нулю, причем весовой множитель можно заменить на , а наиболее неблаго­приятный средний результат на , так что

.

Значения этих результатов для каждого из вариантов пред­ставлены в третьем столбце табл. 3.5.

: Максимизация полученных значений определяет в качестве оптимального варианта со значением гибкой оценочной функции .

: Используя данные первого столбца табл. 3.5, получаем , а так как ,

то является величиной возможного риска.

Во втором случае, при конечном объеме статистической выбор­ки и , получаем – вновь без задания ограничения на риск – на основании данных из четвертого столбца табл. 3.5 в качестве оптимального варианта решение с результатом . Таким образом, выбранным оказывается тот же вариант, что и для минимаксного критерия. Следовательно, величина возможного риска равна нулю. Отсюда видно, что характер результата принятия решения при малых числах реализаций решения становится более консервативным благода­ря снижению до минимума величины возможного риска.