7.2.3. Применение нечетких множеств

Для ситуаций, которые могут быть охарактеризованы лишь сравнительно неточно, недавно был введен в практику новый способ рассмотрения – методы так называемых нечетких (раз­мытых) множеств. Эту концепцию предложил в середине 1960-х гг. Л. Заде; с тех пор в этом направлении выполнено немало исследований, внесших существенный вклад в пробле­му, и, главное, опробовано много интересных применений. Ме­тоды нечетких множеств исходят из тех соображений, что твор­ческое человеческое мышление в значительной мере протекает в рамках нечетких и не описываемых строго количественно по­нятий; такому мышлению не могут полностью соответствовать модели классической математики с их однозначной двухпози-ционной логикой. Таким образом, в методах нечетких множеств стараются как можно шире применить испытанные математи­ческие подходы и прежде всего математическую символику, принимая вместе с тем нечеткость оценок и решений как важ­ное отражение действительно существующей ситуации. Это позволяет связать строгость классической математики и, следо­вательно, точное знание, с одной стороны, с неопределенностью и многозначностью ситуаций, включая эмоционально окрашен­ные процессы познания реального мира, с другой. Успешное решение поставленной таким образом задачи позволяет ввести и рационально использовать такие понятия, как нечеткие зако­номерности, соотношения, алгоритмы. Исследования в области «нечеткого» анализа находятся и настоящее время еще в про­цессе интенсивного развития; это относится как к основам, так и к возможностям применения анализа. Ниже мы вкратце озна­комимся с этой новой теорией, причем в центре внимания будут как основополагающие понятия, так и соотношения для реше­ний в условиях неопределенности. Интересующимся дальнейши­ми подробностями читателям можно порекомендовать обратить­ся к имеющимся широко охватывающим проблему литератур­ным источникам. Здесь наряду с первыми оригинальными работами Л. Заде и Р. Беллмана следует упомянуть компетент­ные работы X. Циммермана, а также А. Кауф­мана.

Первоочередная задача теории нечетких множеств (в даль­нейшем сокращенно – НМ) – дать «размытое» определение принадлежности некоторого объекта или элемента множеству. Для описания такой ситуации обозначим буквой некоторое множество, а буквой – подмножество . В классиче­ской математике принадлежность некоторого элемента к подмножеству однозначно описывается индикаторной функ­цией :

(7.19)

а в рамках теории НМ к концепции нечеткой принадлежности приходят с помощью характеристической функции , . Такая характеристическая функция (в дальнейшем со­кращенно ХФ) может, в отличие от двузначной ситуации (7.6), принимать большее число значений в любом подходящем мно­жестве . Нечеткое подмножество множества будет опре­деляться множеством упорядоченных пар:

. (7.20)

Рассматривая множество всех возможных значений некото­рой ХФ, обычно ограничиваются так называемым нормальным случаем , и соответствующее нечеткому множеству также называют нормальным. На рис. 7.3 в наглядной форме дан пример нормальной ХФ. В дальнейшем ограничимся доми­нирующим случаем нормальной ХФ. Принадлежность некоторого элемента нечеткому множеству можно тогда в ко­личественной или взвешенной форме символически выразить, например, следующим образом:

означает « определенно принадлежит »;

означает « определенно не принадлежит »;

означает «принадлежность множеству определяется степенью 0,8»

Два НМ и называются равными, если для всех имеет место равенство ХФ: .

0

S 10 x* 15 E

Рис. 7.3. Характеристические функции нечетких множеств

В соответствии с положениями теории множеств говорят, что НМ А содержится в НМ S, если для всех справедливо соотношение

.

Важное положение «нечеткого» анализа состоит в определе­нии связей НМ, аналогичных соответствующим соотношениям алгебры множеств. Связи двух НМ к можно охарактери­зовать заданием соответствующих ХФ. Различные связи опре­деляются следующим образом:

• пересечение , ;

• прямое произведение , ;

• объединение , ;

• алгебраическая сумма , .

Понятие «нечеткое» отношение получается из понятия от­ношения теории множеств как подмножества декартова про­изведения двух множеств и . Нечеткое отношение получается с помощью ХФ двух пере­менных в виде

Несмотря на известную аналогию с вероятностными моделя­ми, существенное отличие здесь состоит в том, что неопределен­ность связана не со случайностью, а с имеющимися неточностя­ми и размытостями. Главное преимущество концепции нечетких множеств состоит в том, что нет нужды математически форму­лировать задачу с высокой точностью, если мы вынуждены или готовы в принципе лишь к нечеткому описанию задачи с ис­пользованием терминологии «нечеткого» анализа.

Применение «нечеткого» анализа, особенно полезного в си­туациях, когда нужно принять решение, проиллюстрируем на двух примерах, приведенных основателями этой теории.

Пусть для ситуации, в которой нужно принять решение, име­ются:

1) множество вариантов решения ; 2) ограничивающие дополнительные условия; 3) одна или много целевых функций.

Таблица 7.1. Пример выбора варианта решения в нечетких условиях

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	6
	0	0,1	0,4	0,8	1,0	0,7	0,4	0,2	0,0	0,0
	0,1	0,6	1,0	0,9	0,8	0,6	0,5	0,3	0,0	0,0
	0,2	0,6	0,9	1,0	0,8	0,7	0,5	0,3	0,2	0,1
	0,3	0,4	0,6	0,7	0,9	1,0	0,8	0,6	0,4	0,2
	0	0,1	0,4	0,7	0,8	0,6	0,4	0,2	0,0	0,0

Факторы (2) и (3) могут при этом быть нечеткими, то есть оп­ределяться через НМ и ХФ.

Пример 1

1. , то есть в качестве вариантов решения выступают все неотрицательные вещественные числа.

2. должно находиться в окрестности числа 7. Это можно нечетко учесть характеристической функцией .

3. должно быть значительно больше 10». Для этой нечет­кой целевой функции подходит, например, ХФ

На рис. 7.3 показан ход нормальных ХФ и .

В качестве ХФ для множества решений получаем путем об­разования пересечения:

.

Таким образом, в качестве результата, то есть рациональных ва­риантов решения, получаются значения в заштрихованной области, ограниченной жирной линией на рис. 7.3, например, соответствующее максимуму значение .

Пример 2

Пусть дано множество вариантов решения, два нечетких дополнительных условия, заданных характеристи­ческими функциями и , а также две нечеткие целевые функции, заданные характеристическими функциями и . ХФ заданы в табличной форме (табл. 7.1).

Последняя строчка этой таблицы содержит значения ХФ , определяемой для нечеткой области решений условием

.

Оптимальный вариант решения по­лучается из требования

.

Вопросы для самопроверки по разделу 7

1. Изложить понятие многоцелевых решений.

2. Перечислить возможные направления реализации целей при многоцелевых решениях.

3. Привести основные методы выбора решений внутри эффективных множеств.

4. Дать краткую характеристику основных путей выбора решения при альтернативных методах.

5. Изложить способы использования критериального анализа и аппарата нечетких множеств при выборе решений.