
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Графическое представление критерИев
- •1.1. Критерии с прямоугольными конусами предпочтения
- •1.1.1. Минимаксный критерий
- •1.1.2. Критерий Гермейера
- •1.1.3. Критерий Сэвиджа
- •1.1.4. Критерий азартного игрока
- •1.2. Критерий с прямыми предпочтения
- •1.3. Производные критерии
- •1.3.1. Критерий Ходжа-Лемана
- •1.3.2. Критерий произведений
- •1.3.3. Критерий Гурвица
- •1.3.4. Критерий Байеса-Лапласа
- •1.3.5. Обобщенные критерии
- •Глава 2. Количественные характеристики ситуации принятия решений
- •2.1. Влияние информации на процесс принятия решения
- •2.2. Значимость независимого параметра
- •2.3. Энтропия независимого параметра
- •2.4. Доверительные факторы принятия решений
- •2.4.1. Эмпирический доверительный фактор
- •2.4.2. Прогностический доверительный фактор
- •2.4.3. Эмпирико-прогностический доверительный фактор
- •2.4.4. Использование доверительных факторов в задачах принятия решения
- •2.5. Принятие решений в условиях рисков
- •2.6. Пример оценки значимости параметра
- •Глава 3. Гибкие критерии выбора решения
- •3.1. Свойства гибкого критерия
- •3.2. Применение гибкого критерия
- •Параметров в заданных интервалах для выборки сочетаний исходных данных при (случай 1)
- •3.3. Адаптивный критерий Кофлера-Менга с использованием кусочно-линейной информации
- •Глава 4. СубъективНые оценки параметРов
- •4.1. Основные проблемные вопросы
- •4.2. Подготовка и проведение оценок
- •4.3. Обработка данных
- •4.3.1. Интерквартиль оцениваемой величины
- •4.3.2. Взвешивание оцениваемой величины
- •4.4. Гибкий выбор принятия решения при субъективной полезной информации
- •4.5. Примеры проведения оценок
- •Глава 5. Анализ ситуаций выбора решения
- •5.1. Общая структура выбора решения
- •5.2. Методы выбора решений
- •5.3. Ошибки решения
- •5.3.1. Количественный анализ ошибок
- •5.3.2. Качественный анализ ошибок
- •5.4. Схемы принятия решений
- •5.4.1. Одношаговые схемы принятия решений
- •5.4.2. Многошаговые схемы принятия решений
- •5.5. Дискретизация и комбинирование внешних состояний
- •5.5.1. Разделение общего числа представительных значений по параметрам внешнего состояния
- •5.5.2. Распределение заданного числа представительных значений по диапазону неопределенности параметра
- •5.6. Пример расчета числа дискретизирующих шагов для оценочной функции
- •Глава 6. Полезность вариантов решения. Риск
- •6.1. Полезность вариантов решения
- •6.2. Понятие риска
- •6.3. Сравнение степеней риска
- •6.4. Формальное описание риска
- •6.5. Виды рисков
- •6.6. Многократные риски
- •6. Изложить понятие неоднократного риска. Глава 7. Многоцелевые решения. Альтернативные методы
- •7.1. Многоцелевые решения
- •7.1.1. Общий подход
- •7.1.2. Реализация целей
- •7.1.3. Методы выбора внутри эффективных множеств
- •7.2. Альтернативные методы
- •7.2.1. Основные пути выбора решения
- •7.2.2. Критериальный анализ
- •7.2.3. Применение нечетких множеств
- •Заключение
6.6. Многократные риски
Если риск
характеризуется случайной величиной
,
зависящей от случайных значений
и
,
соответствующих нагрузке и несущей
способности, то среднее значение
величины
(6.17) еще не полностью описывает связанную
с риском ситуацию. В отдельных случаях
может реализоваться более высокая
величина риска. Суммарный риск в длинном
ряду реализующихся
раз рискованных ситуаций оценивают
средним значением
,
(6.27)
причем здесь
случайные величины
независимы и
распределены так же, как
,
и при неограниченно увеличивающемся
значение
стабилизируется около
.
При меньших значениях
для некоторой данной вероятности ошибки
можно рассчитать интервал
,
в который случайная величина
попадает с вероятностью
:
.
(6.28)
Для определения
зависящих от
и
пределов риска
– причем прежде всего важен верхний
предел
– необходимо по распределению
рассчитать распределение
.
Для получения
распределения плотности вероятностей
риска
используем формулу
.
(6.29)
В отличие от (6.18)
ограничимся здесь важным для практики
случаем, в котором риск наступает, когда
нагрузка начинает превышать несущую
способность. Величина
означает здесь среднюю величину ущерба,
когда для несущей способности имеет
место плотность вероятности
,
а нагрузка принимает определенное
значение
,
причем
.
Применяя символику теории вероятности,
можно написать
.
Здесь
–случайные значения штрафной функции
в зависимости от случайных величин
и
для нагрузки и несущей способности,
а символ
означает математическое ожидание
при условии
.
Безусловное (абсолютное) среднее значение
ущерба получается путем усреднения по
плотности нагрузки
и равно
.
(6.30)
Рассматривая
функцию
в соответствии с формулой (6.29) в зависимости
от случайной нагрузки
,
получаем непосредственно
.
Можно исходить из того, что
для определенного у является строго
монотонной возрастающей функцией,
откуда следует то же свойство для функции
.
Соответственно существует монотонно
возрастающая обратная функция
.
Если, далее,
предположить, что функция
дифференцируема (причем здесь достаточно
существования частной производной
функции
по
),
то по известным формулам теории
вероятности для плотности вероятности
случайной величины
получаем
.
(6.31)
Рис. 6.9. Номограмма для определения вероятности не благоприятных ситуаций
Случайная величина
представляет, таким образом, случайное
среднее значение ущерба в результате
события
;
среднее значение этой величины равно
.
Плотность вероятности
определяемого формулой (6.31) среднего
риска
при числе реализаций
получается по формуле свертки:
,
.
(6.32)
Для унификации
обозначений будем считать, что одиночной
рискованной ситуации соответствует
.
Среднее значение случайных величин
риска
для всех
равно тому же значению
и по закону больших чисел при неограниченном
росте
распределения
концентрируются вокруг
(рис. 6.6), так что в пределе получается
вырожденное распределение в виде
– функции Дирака при
.
Рис. 6.10. Функция плотности вероятностей среднего риска
Зная плотность
вероятности
,
можно теперь количественно оценить
вероятность возможных значений риска
при числе реализаций
.
Так, например, для симметричного
интервала вокруг среднего значения
границы интервала
,
определяются уравнением
,
где
– заданная вероятность ошибки. Часто
на основе распределений для нагрузки
и несущей способности, а также для
штрафной функции получаются однозначные
границы
и
возможных значений риска
:
.
(6.33)
Рис. 6.6 соответствует такой ситуации.
Формула
(6.34)
устанавливает
связь между вероятностью и значением
,
причем при
-кратной
реализации случайная величина
по меньшей мере равна
.
Эту вероятность можно также воспринимать
как готовность к риску. Для достижимой
на практике точности оценки штрафной
функции и соответствующих плотностей
представляются оправданными значения
до 0,1.
Рис. 6.11. Зависимость величины риска от числа реализаций
– вариант 1;
– вариант 2
Показанная на рис.
6.6 пунктиром линия, соответствующая
определенному заданному значению
,
имеет точки пересечения с кривыми
плотности вероятности для различных
чисел реализации
;
абсциссы этих точек дают на оси
значения
.
Если теперь
использовать соответствующие определенному
значения
,
зависящие от
,
в качестве основы для принятия
решения, то нужно каждый раз выбирать
такие варианты, для которых значения
наименьшие.
На рис. 6.11 показан
ход функции
для двух вариантов решения. При этом
вариант 1 соответствует минимаксному,
а вариант 2 – байесовскому критериям
решения. Из рисунка видно, что при
следует выбрать вариант 1, а при
– вариант 2.
Расчет плотностей
вероятности
по формуле свертки может оказаться
слишком трудоемким делом. Нередко
удается упростить расчеты с помощью
функциональных преобразований. Для
непрерывных функций плотности вычисления
производят с помощью преобразования
Лапласа в четыре этапа:
.
Символы преобразований здесь означают:
– прямое
преобразование Лапласа;
–
-кратная
свертка;
– преобразование координат;
– обратное преобразование Лапласа.
Необходимое на этапе
преобразование Лапласа
для широкого класса
функций
можно осуществить, пользуясь
справочными таблицами; то же справедливо
и для обратного преобразования. На
этапе
выявляется выгода проведенного
преобразования Лапласа:
-кратная
свертка заменяется просто возведением
в степень (с показателем
).
На этапе
требуется только замена
на
.
Для примера
проследим ход преобразований для
нормального распределения
с плотностью распределения
,
где
,
что соответствует
известному факту, что w-кратная свертка
нормального распределения
по формуле (6.27) приводит к нормальному
распределению
.
Для часто встречающегося экспоненциального распределения с плотностью вероятности
,
отдельные этапы преобразования выглядят так:
Если имеются
дискретные распределения с постоянным
шагом
,
то есть так называемые решеточные
распределения с постоянной решетки
,
то можно с успехом применить
-преобразование.
Будем исходить из дискретного распределения
величин
и соответствующих вероятностей
,
;
при этом разность
для всех рассматриваемых
постоянна и равна
,
а последовательность
может быть конечной или бесконечной
(случай конечного или бесконечного
дискретного распределения). Не
вдаваясь в подробности, примем
.
Затем образуем функцию
,
(6.35)
представляющую
собой так называемое
-преобразование
.
Тогда возведение в степень
даст
,
(6.36)
то есть
-кратную
свертку исходного распределения в
точках
при
и
с соответствующими вероятностями
,
Таким образом,
-преобразование
осуществляется по следующим этапам:
,
где
– проведение
-преобразования
по формуле (6.35);
–
-кратная
свертка по формуле (6.36);
– обратное
преобразование
,
то есть извлечение вероятностей
из (6.35).
Заметим, что
показатель кратности свертки
при принятых выше обозначениях
устанавливается таким, чтобы исходное
распределение соответствовало
.
Если имеется дискретное решеточное
распределение с
эквидистантными значениями
,
то для показателя кратности свертки
получается решеточное же распределение
с
значениями.
Это дает для
математического ожидания
и соответственно дисперсий
следующие выражения:
;
.
Расчет
и
можно произвести с помощью известных
соотношений теории вероятностей,
исходя из среднего значения
и дисперсии
для исходного распределения,
характеризующегося значением
:
;
.
(6.38)
Продемонстрируем
применение
-преобразования
к распределению Пуассона:
,
,
Это дискретное
распределение с параметром
,
определенное на бесконечной области
значений неотрицательных действительных
чисел и характеризующееся средним
значением
и дисперсией
.
Три этапа
-преобразования
приводят к
распределению Пуассона с параметром
,
которое обладает средним значением
и дисперсией
.
-преобразование
в принципе применимо также к дискретным
нерешеточным распределениям. Используя
нормирующий множитель
(рис. 6.7), образуем
-функцию:
,
(6.40)
где
– вероятности величин риска
.
При
реализациях образуется
-я
степень:
,
откуда путем расчета, аналогичного проводившемуся выше для случая эквидистантной решетки, можно получить соответствующие вероятности риска.
Вопросы для самопроверки по разделу 6
1. Дать понятие полезности вариантов решения.
2. Изложить сущность шкал упорядоченности и особенности их использования при оценке полезности вариантов решения.
3. Дать понятие риска принятия решения.
4. Привести методы оценки риска.
5. Перечислить основные виды рисков.