5.5.2. Распределение заданного числа представительных значений по диапазону неопределенности параметра

Когда рассматривают некоторый параметр состояния исходных данных, можно выставить еще одно требование к выбору дискретных представительных значений параметра: распределение дискретных значений по интервалу , в котором они заключаются, должно отвечать вероятности реализации соответствующих состояний.

Это требование может быть удовлетворено, если выбранные дискретные значения , представляют, соответственно, такие подинтервалы интервала , на которых вероятности реализации неизвестного параметра одинаковы. Площадь под соответствующей функцией плотности вероятностей в интервале нужно для этого разбить на равновеликих по площади параллельных полос, расположенных перпендикулярно оси (рис. 5.7). В результате получается в общем случае неравномерное распределение значений , заключенных в подинтервалах области .

Рис. 5.12. Распределение дискретных значений неизвестного параметра по ин­тервалу значений его возможных реализаций

Если – первообразная функция , то есть , то при одинако­вых приращениях величина первого приращения рав­на площади полосы, начинающейся в

и имеющей ширину :

. (5.32)

Разлагая в ряд Тейлора с учетом ,

(5.33)

получаем . (5.34)

Откуда, ограничиваясь соответствующим числом членов ряда, стоящего в знаменателе, можно получить приближенные значения .

На практике обычно ограничиваются квадратичным членом ряда, так что

. (5.35)

Соотношение (5.35) может быть использовано для альтернативного определения :

. (5.36)

с начальным значением

. (5.37)

Условием сходимости для альтернативного процесса при достаточно малом является Полагая , получают и, продолжая процедуру, описанную для первого шага, получают и так далее для последующих подынтервалов. При этом между площадью и выбранным числом подынтервалов существует связь:

. (5.38)

Часто расчет производных, входящих в формулы (5.34),(5.35) и (5.36), затруднителен, вследствие чего используют разностные величины, получая приближенные значения:

(5.39)

(5.40)

что приводит, вместо (5.35), к

. (5.41)

Соответствующие аппроксимации и расчеты будут тем точнее, чем меньше выбранная величина .

На рис. 5.13 показаны меняющиеся по знаку отклонения рассчитанных значений оценочной функции в зависимости от . Такие отклонения могут в особых случаях привести к тому, что будут выбраны неоптимальные варианты. На отклонения влияют:

• функция распределения параметра внешнего состояния в области неопределенности;

• оценочная функция;

• критерий решения.

В большинстве случаев желаемая точность может быть достигнута с небольшим числом представительных значений. Конечно, при использовании единственного представительного значения получается детерминированная задача. В отдельных случаях при небольшом числе представительных значений и большой значимости параметра может потребоваться контроль возможных ошибок (рис.5.13).

Рис. 5.13. Отклонения оценочной функции

– оценочная функция; – вычисленные значения аппроксимации оценочной функции

При нормальном и всех других функциях распределения, особо выделяющих средние значения, следует предпочесть наименьшее число представительных значений параметра и эквидистантную последовательность нечетных чисел, тогда как, например, при двух представительных значениях отклонение расчетных величин может оказаться больше, чем при единственном представительном значении параметра.

На рис. 5.13 это ясно видно, как и влияние критерия выбора решения. В данном случае были выбраны гибкий критерий с зависящей от оценочной функцией и доверительный фактор произвольной формы.

Видно, что при больших числах и малых значениях доверительного фактора функция сохраняет монотонность, тогда как при малых числах представительных значений параметра и больших значениях доверительного фактора монотонность не сохраняется.

Рис. 5.14. Зависимость оценочной функции от числа интервалов дискретизации параметра и доверительного фактора

При этом малая величина доверительного фактора в гибком критерии выбора решения (7.1) означает предпочтение минимаксному критерию (3.3), а большая величина означает, что предпочтительным становится -критерий (3.6).

Таблица 5.5. Число интервалов дискретизации независимых параметров и

Шаг
1	3	6	30
2	4	7	44
3	5	7	65
4	6	15	90
5	7	17	79

Для функций распределения, в которых наиболее вероятные значения не концентрируются близ середины, следует предпо­честь нечетные числа. На рис. 5.13 видно также, что при такой функция распределения отклонения для четных чисел пред­ставительных значений параметра (обозначенные крестиками) равны нулю.

Метод, обеспечивающий одновременное выполнение требо­ваний разд. 5.5.1 и 5.5.2, можно построить таким образом, что­бы переходить от более грубого к более тонкому разбиению на интервалы области изменения параметра. Рассматривают оце­ночную функцию с , , и выбирают из параметров такие , в интервале измене­ния которых оценочная функция испытывает наибольшие изменения. Этот интервал затем разбивают пополам, и оба подынтервала рассматриваются таким образом, как будто они соответствуют двум различным параметрам. Затем из па­раметров вновь отыскивают такие, которые дают на своем ин­тервале наибольшую разницу значений оценочной функции, и де­лят эти интервалы. Этот процесс продолжается, пока не будет достигнут удовлетворительный уровень разбиения. Этот метод пригоден прежде всего для монотонных функций.