Глава 3. Гибкие критерии выбора решения

3.1. Свойства гибкого критерия

Проведенные в гл. 2 рассуждения составляют основу для такого критерия выбора решения, который гибко сочетается с качественными характеристиками исходной информации и числом предстоящих реализаций решения, что характеризуется, соответственно, эмпирическим и прогностическим доверитель­ными факторами. Кроме того, проводится учет возможного риска, ограниченного его допустимой величиной. С помощью пяти требующих обязательного выполнения условий , , , , , формулировки которых будут даны ниже, опишем множе­ство оптимальных вариантов согласно данному гибкому критерию ре­шений в виде

. (3.1)

При этом условия формально характеризуются следующими соотношениями:

: (3.2)

: ; – доверительный фактор (3.3)

или или ,

– максимально допустимый доверительный фактор

: – (3.4)

: (3.5)

; – гибкая оценочная функция

: . (3.6)

Условие говорит о том, что при выборе оптимального варианта решения рассмотрению подлежат все возможные ва­рианты из множества . Условия и определяют границы величины допустимого риска при использовании гибкого кри­терия . При этом лицо, принимающее решение, может огра­ничить величину риска по собственному усмотрению путем выбора условия или ; в то время как условие с ростом доверительного фактора из сочетания минимаксного критерия и критерия Байеса –Лапласа способствует выбору решения, все более близкого к решению по последнему из наз­ванных критериев, условие непосредственно ограничива­ет отклонение возможного результата решения от результата, принятого по минимаксному критерию. При использовании гибкого критерия величины ограничиваются в соответст­вии с условием (2.45) путем выбора допустимой величины рис­ка и, кроме того дополнительным условием , поэтому, согласно (2.40), всегда выполняется равенство .

Оценочная функция гибкого критерия существенно отличается от таковой -критерия, поскольку она содержит величину , определяющую возможный риск при принятии решения. Благодаря этому становятся конкурентоспо­собными и другие варианты решения, отличные от выбранных по - и -критериям. Множество вариантов решения, мак­симизирующее оценочную функцию (3.5), аналогично (2.48) обозначим . Согласно условию , из полученного множе­ства выбираются в качестве оптимальных только варианты решения, которые, кроме выполнения предыдущих условий, оп­тимальны в смысле -критерия.

Ряд логических условий в выражении (3.1) определяет про­цедуру принятия решения, заключающуюся в первоначальной фиксации допустимых границ риска, а затем выполнении, в рамках заданных возможностей, поиска оптимального вариан­та решения. Такой подход наиболее приемлем и при разработке алгоритмов для процедуры принятия решения с помощью ЭВМ. В прикладных задачах, однако, нередко вначале путем варьирования величины риска выполняется оценка возмож­ного эффекта от решений, соответствующих оценочным функци­ям и для заданных значений , а затем в зависимости от полученных результатов устанавливаются окончательные границы риска согласно и . В этом случае гибкий крите­рий преобразуется в ряд логических условий . При этом необходимо исследовать, насколько учет допустимого риска снижает достижимый результат.

Отметим, что использование доверительных факторов из разд. 2.4, например , согласно выражениям (2.36), (2.39), (2.42) и (2.43) приводит к изменению вида гиб­кой оценочной функции (3.5):

. (3.7)

В основе применения описанного выше гибкого критерия выбора решения лежит методический подход к выбору точки отсчета для величины риска, которой, согласно разд. 2.6, дол­жен быть результат выбора по минимаксному критерию, не зависящий от значений внешних факторов в задаче. Для рас­ширения области применения критерия на случай опорных ве­личин риска, зависящих от значений внешних факторов, , требуется преобразование оценочных функций и к следующему виду:

, (3.8)

. (3.9)

Выражения (3.8) и (3.9) представляют собой не что иное, как общий случай формулировки гибкого критерия. В этом легко убедиться, заменив в данных выражениях зависящие от внеш­них факторов опорные оценки риска , на резуль­тат оценочной функции по минимаксному критерию. Тогда для получаем

и, учитывая, что , непосредственно .

Аналогично для оценочной функции , подставляя , имеем

.

Минимизация (относительно индекса ) выражения, заключен­ного в фигурные скобки, адекватна максимизации выражения

в квадратных скобках, что соответствует условию , а, следо­вательно, и выражению для .

Аналогично ранее обсуждавшимся критериям рассмотрим для наглядности процедуру выбора решения с использованием гибкого критерия на примере с двумя внешними состояниями и . При этом используем среднее значение доверительного фактора, обозначив его через , и, как и ранее, произведем замену переменных , .

Рис. 3.1. Область предпочтения для случая гибкого критерия

Тогда линии уровня на плоскости для оценочной функции (3.5) будут описываться уравнением

. (3.10)

Обсудим оба случая ограничения величины риска условиями и , а для графически наглядного представления положим , .

Если величина риска в соответствии с условием ограни­чивается максимально допустимым значением доверительного фактора , то величиной , учитывающей в оценочной функ­ции возможность риска, можно пренебречь, то есть принять . Выбрав значение , выражение (3.10) для линий уровней приведем к виду

.

Линии уровня, приведенные на рис. 3.1, полностью соответству­ют аналогичным линиям для -критерия (сравните с рис. 5.8). Линии уровня представляют собой две системы параллельных прямых, встречающихся для фиксированного уровня на на­правляющей прямой . При линии уровня описываются уравнением , а при – уравнением . Величина угла между этими прямыми линиями зависит от значения доверительного фактора , как и для -критерия, при он соответствует семейству линий уровня минимаксного критерия и равен , а при соответствует семей­ству линий уровня -критерия, то есть .

Теперь рассмотрим влияние ограничения возможного риска и для наглядности примем , . Отсюда, снача­ла в общем виде, согласно выражению (3.5), линии уровня описываются выражением

,

а если, как и выше, выбрать , и , то полу­чим

.

И в этом случае линии уровня образуют два семейства параллельных прямых, которые при одинаковом значении уров­ня имеют общую точку на направляющей прямой, описывае­мой уравнением (рис. 3.2).

Уравнения прямых одина­кового уровня , как в предыдущем случае, определяются в виде и и, таким образом, угол между указанными прямыми остается без изменения (разд. 5.3.1). Ход предыдущих рассуждений показывает, что гибкий кри­терий позволяет согласовать рассматриваемую задачу выбора решения с конкретными условиями.

Рис. 3.2. Графический выбор вари­анта решения согласно гибкому критерию с учетом риска

При малой статистической выборке состояний исходных данных, а также небольшой ста­тистике реализаций решения гибкий критерий действует прак­тически аналогично минимаксному; с возрастанием объема статистической выборки сочетаний внешних факторов и стати­стики ранее осуществленных решений гибкий критерий по своим результатам все более и более приближается к -критерию. Выбранное решение будет тем консервативнее, чем мень­шим объемом априорной информации располагает лицо, при­нимающее решение, и чем меньше число ранее известных случаев решения рассматриваемой задачи. Эти свойства, при­сущие гибкому критерию, справедливы для любой его версии с использованием доверительных факторов, рассмотренных в разд. 2.4. Гибкий критерий целесообразно применять, имея некоторый опыт и математическую подготовку в вопросах при­нятия решения; он требует только наличия данных, собранных в процессе постановки и попыток решения задачи, затраты на которые должны быть меньше величины возможного выиг­рыша.