МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ НА ЭВМ

Омск 2006

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ НА ЭВМ

Методические указания

к лабораторным работам

Омск – 2006

.

Cоставители: Шкаруба Михаил Васильевич,

Эрнст Александр Дмитриевич

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ХОЛОСТОГО ХОДА

ТРАНСФОРМАТОРА

Цель работы: Исследовать переходный процесс, возникающий при включении

однофазного трансформатора с разомкнутой вторичной обмот-

кой под синусоидальное напряжение.

Пояснения к работе.

Рассматриваемый процесс включения однофазного трансформатора с разомкнутой первичной обмоткой (рис.1.1) полностью идентичен процессу включения катушки с ферромагнитным сердечником под синусоидальное напряжение и описывается уравнением 1

, (1.1)

где Um - амплитуда синусоидального напряжения; - фаза напряжения при t=0 (фаза включения); - потокосцепление первичной обмотки; n₁ - число витков первичной обмотки; Ф – магнитный поток; - мгновенное значение тока холостого хода; r - активное сопротивление первичной обмотки.

Предполагается, что магнитная характеристика трансформатора (характеристика холостого хода) известна (рис. 1.2). Так как магнитная характеристика нелинейна, то и дифференциальное уравнение (1.1) будет нелинейным.

Решить это дифференциальное уравнение можно, например, методом условной линеаризации 1, который заключается в следующем. Пусть второе слагаемое в первой части уравнения (1.1) мало по сравнению с первым. Такое условие соблюдается, например, при включении мощных трансформаторов с разомкнутой вторичной обмоткой, так как активное сопротивление r у них обычно незначительно. Поэтому второе слагаемое имеет второстепенное значение по сравнению с членом и неточность его вычисления существенно не повлияет на определение параметров переходного процесса.

Зависимость является нелинейной, так как L есть функция , но в данном случае можно приближенно принять L=const, и связь между и становится линейной:

(1.2)

Рис.1.1– Исследуемая схема включения однофазного трансформатора

Рис.1.2 – Магнитная характеристика трансформатора

Рис. 1.3 – Кривая и ее составляющие:

1 – апериодическая ; 2 – периодическая

Отсюда можно выразить и подставить в уравнение (1.1). Тогда уравнение (1.1) примет вид

. (1.3)

Уравнение (1.3) становится линейным и имеет решение

(1.4)

где - амплитуда потокосцепления; ( – ) – фаза включения потокосцепления; угол .

Так как r<<(), угол . Максимум потокосцепления соответствует фазе включения напряжения и определяется уравнением

, (1.5)

так как в этом случае . На рис. 1.3 приведена зависи–мость и ее составляющие – и . Макси-мальное мгновенное значение потокосцепления имеет место через поло–вину периода и при f =50 Гц можно записать

(1.6)

Из выражения (1.6) следует, что при большой постоянной времени максимальное значение потокосцепления равно примерно , а ударный коэффициент [2] .

На рис. 1.2 приведена магнитная характеристика трансформатора. В установившемся режиме работы трансформатора амплитудное значение потокосцепления находится вблизи колена магнитной характеристики. Этому значению потокосцепления соответствует наибольшая по величине амплитуда тока , но при включении трансформатора амплитуда потокосцепления превышает (рис. 1.3), рабочая точка переходит в область насыщения кривой намагничивания, что приводит к очень большим броскам тока намагничивания.

На рис. 1.4 показана форма тока, соответствующая зависимости и построенная по кривой намагничивания. Видно (рис 1.4), что зависимость сильно отличается от синусоиды, особенно в начальной стадии переходного процесса. Это происходит потому, что при насыщении сердечника индуктивность становится нелинейной и вызывает возникновение нелинейного тока. Нелинейный ток можно разложить на высшие гармоники. (В курсе ”Электромагнитные переходные про-цессы” разложение тока на высшие гармоники не рассматривается. Однако в последние годы в электроэнергетике стали уделять большое внимание вопросам качества электроэнергии и студенты должны знать, что индуктивное сопротивление трансформатора при насыщении становится нелинейным, а нелинейное сопротивление можно рассматривать как генератор высших гармоник 1, ко-торое приводят к искажению синусоидальной формы тока и напряжения и, следовательно, ухудшение качества электроэнергии. Данная лабораторная работа очень удобна для знакомства с этим вопросом, полученные сведения будут использованы в курсах ”Электроснабжение промышленных предприятий”, ”Изоляция и перенапряжения в СЭС” и других).

Разложим ток на высшие гармоники. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию y=f(x), удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в ряд Фурье, а, как известно, все периодические функции электротехники условиям Дирихле удовлетворяют 1. В общем виде разложение функции y=f(x) в ряд Фурье можно представить так 1:

(1.7)

Здесь - постоянная составляющая; -амплитуда основной (первой) синусной гармоники ; -амплитуда высшей (k-й) синусной гармоники ; - амплитуда основной (первой) косинусной гармоники; - амплитуда высшей (k-й) косинусной гармоники .

Если периодические кривые обладают симметрией того или иного вида , то некоторые коэффициенты в разложении в ряд Фурье (1.7) обращаются в нуль 1. Так, если кривая симметрична относительно оси ординат ,то в разложении в ряд Фурье отсутствуют следующие коэффициенты: - и оно принимает вид :

(1.8)

Амплитуды постоянной составляющей и гармоник определяются по формулам 1

и (9.1)

Коэффициенты ряда Фурье по известной кривой y=f(x) можно определить графическим методом 1, основанным на замене определенных интегралов (1.9) суммами конечного числа слагаемых. С этой целью период функции f(x), равный , разбивается на n равных частей и интегралы заменяются суммами:

и

(1.10)

Здесь p - текущий индекс, он принимает значение 1….n; - значение функции f(x) в середине p-го интервала; - значение функции в середине p-го интервала .

Однако ток холостого хода трансформатора во время переходного процесса в общем случае периодической функцией не является, поэтому, строго говоря, его разложить на гармоники нельзя. Вместе с тем, рассматривая переходный процесс за один период можно считать функцию квазипериодической. Это после разложения кривой тока на высшие гармоники позволяет определить действующее значение тока и тепловой импульс за первый период [3]. Иное дело – ток в цепи при r=0 . В этом случае функция будет периодической и симметричной относительно оси ординат (рис 1.5).

Ряд Фурье для тока намагничивания при r=0 принимает вид:

(1.11)

где -постоянная составляющая ; -амплитуда k-й косинусной гармоники

В лабораторной работе при определении постоянной составляющей и амплитуд косинусных гармоник период разбивается на 48 частей , и они определяются по формулам :

(1.12)

где - значения тока в середине р-го интервала;

- значение функции в середине р-го интервала.

Число гармоник в лабораторной работе выбирается так, чтобы по-грешность вычисления амплитуды тока не превышала 5% , поэтому она зависит от исходных данных и изменяется от 5 до 7 . На рис. 1.6 приведено разложение тока намагничивания на гармоники при r=0 .

Наибольшее значение тока намагничивания – бросок намагничивающего тока возникает через полупериод (0,01 с). Величина может в десятки раз превосходить амплитуду тока установившегося режима . Следовательно, в нелинейных цепях ударный коэффициент может значительно превосходить максимальное значение в линейных цепях не превышающее значения . Такой всплеск тока может вызвать механические разрушения обмотки, так как электродинамические усилия пропорциональны квадрату тока.

Рис. 5. Кривая тока для R=0

Рис.1.4 – Кривая тока, соответствующая и построенная по кривой

намагничивания

Рис. 1.5 – Кривая тока для r=0

Оценка бросков намагничивающего тока важна и для правильной работы защиты трансформатора, которая не должна срабатывать при его включении. Для этого можно мощный ненагруженный трансформатор включить через дополнительное сопротивление , которое затем необходимо замкнуть накоротко (рис . 1.1)

В лабораторной работе зависимость (t) строится по уравнению (1.5), а зависимость – по рис. 1.4 2 . Поэтому необходимо ввести в ЭВМ магнитную характеристику трансформатора, лежащую в I и III квадрантах. Так как кривая намагничивания симметрична, то достаточно определить характеристику в I квадранте. В численных расчетах нелинейную зависимость обычно аппроксимируют несколькими линейными участками . В лабораторной работе не требуется высокой точности расчетов , поэтому магнитную характеристику одного квадранта достаточно заменить пятью линейными участками (рис. 1.7).

В табл. 1.1 приведены номинальные напряжения силовых трансформаторов и координаты точек излома линейных участков магнитных характеристик для различных сортов стали 4. Сердечник трансформатора выбран так, чтобы при максимальном напряжении, приложенном к нему, , ток был практически синусоидальным. Однако во время переходного процесса напряжение превышает , ток начинает отличаться от синусоиды и появляются высшие гармоники.

Среднее значение индуктивности L обмотки с сердечником определялось в точке 3 кривой намагничивания (рис 1.7) и приведено в табл. 1.2.

Рис. 6.1– Разложение тока на гармоники

Рис. 7.1– Построение кривой намагничивания в I квадранте.

Описание схемы алгоритма программы

Программа написана на языке модульного программирования Borland

Delphi 7 и работает в режиме диалога. Программа (блок–схем приведена на рис. 1.8) начинается с вывода на экран монитора названия лабораторной работы, исследуемой схемы и целей работы. Для запуска программы необходимо ввести исходные данные: номер варианта, номинальное напряжение трансформатора, индуктивность цепи и координаты точек излома аппроксимированной кривой намагничивания сердечника.

Введенные координаты точек излома аппроксимированной кривой намагни-чивания появляются на экране в виде таблицы. Если при вводе допущены ошибки, то его нужно повторить.

После очистки экрана на нем появляется кривая намагничивания сердечника трансформатора аппроксимированная пятью линейными участками. Она изображена в I и III квадрантах.

Лабораторная работа разбита на два этапа. На первом этапе сначала изучается работа трансформатора под нагрузкой на линейной части кривой намагничивания (рис.1.7). На экран последовательно выводятся кривые , , все эти зависимости близки к синусоидам.

Затем исследуется процесс включения трансформатора с разомкнутой вторичной обмоткой и сопротивлением первичной обмотки r=0. Сначала на экране появляется зависимость и ее периодическая и апериодическая составляющие, по ней вычисляются максимальное значение и коэффициент . Следом за графиком выводится таблица для его построения.

Рис. 1.8– Укрупненная блок–схема алгоритма программы

После смены окна начинается построение кривой =. Порядок по-строения этой зависимости следующий: сначала вычисляется зависимость , и для каждого значения потокосцепления по кривой намагничивания определяется соответствующее значение тока, которое выводится на экран в виде точки. Одновременно с построением зависимости =идет определение максимального значения тока и ударного коэффициента , которые после окончания построения выводятся на экран.

Кривая тока для r=0 раскладывается на гармоники. Сначала на экран выводится число гармоник, амплитуды гармоник и погрешность расчета, а потом появляется само разложение тока на гармоники. В отчете этот график из-за сложности можно не приводить. Следом разложение повторяется еще раз. Только теперь, чтобы гармоники не сливались, на экран выводится только один период тока (рис. 1.6), а гармоники строятся поочередно. Затем выводятся таблицы для построения гармоник в отчете.

Этап заканчивается контролем правильности его выполнения. Для этого с клавиатуры необходимо ввести значения основных параметров, полученных в результате расчета. Если эти значения совпадут с контрольными ответами, то на экране появляется сообщение о том, что этап выполнен верно. Если в работе будут допущены хотя бы небольшие неточности, то на экране появится сообщение, что этап выполнен не верно и сколько допущено ошибок. Этап придется повторить заново.

На втором этапе работы исследуется влияние сопротивление цепи r на максимальные значения потокосцепления и тока. На этом этапе необходимо построить зависимости , для четырех значений сопротивления r, приведенных в табл. 1,2. Во время построения зависимостей , вычисляются значения , , , и записываются в табл. 1.3. Для r₃ зависимости , нужны для отчета, поэтому на экран также выводятся таблицы для их построения. С увеличением сопротивления r резко уменьшается амплитуда тока намагничивания, и зависимость может занимать малую часть экрана. В этом случае в программе предусмотрены вычисления нового масштаба по току таким образом, чтобы при повторном построении зависимость занимала почти весь экран. Второй этап также заканчивается контролем правильности его выполнения. Для этого с клавиатуры необходимо ввести значения коэффициентов для всех четырех значений r. По ним строятся зависимости и и они будут сравниваться с контрольными ответами. Если будут найдены отличия, то появится сообще-ние о количестве ошибок.

В конце работы появляется сообщения о правильности выполнения всей работы, и на каком этапе допущены ошибки. По этому сообщению преподаватель в конце работы может сделать вывод о всей работе. Контроль позволяет студентам, имеющим свои компьютеры, а также студентам, пропускающим занятия, выполнять лабораторные работы самостоятельно без преподавателя и оценивать правильность их выполнения.