Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Результаты экспериментов и расчетов для каждого исследуемого звена:

• заданная передаточная функция;

• графики переходных процессов;

• заданные и расчетные значения параметров передаточной функции;

• погрешности определения параметров передаточной функции.

3. Выводы по каждому исследованному звену.

Контрольные вопросы

1. Что называется типовыми динамическими звеньями?

2. Что называется передаточной функцией?

3. Что называется переходной характеристикой?

4. Что называется постоянной времени?

5. Определение типовых звеньев: безынерционного, запаздывающего, инерционного, колебательного, дифференцирующего, интегрирующего.

6. Какой вид имеют дифференциальное уравнение, передаточная функция и график переходной характеристики:

а) безынерционного звена;

б)запаздывающего звена;

в) инерционного звена 1-го порядка;

г) инерционного звена 2-го порядка;

д) колебательного звена;

е) реального дифференцирующего звена;

ж) идеального дифференцирующего звена;

з) идеального интегрирующего звена?

7. Как по графику переходной характеристики определить параметры:

а) безынерционного звена;

б) запаздывающего звена;

в) инерционного звена 1-го порядка;

г) инерционного звена 2-го порядка;

д) колебательного звена;

е) реального дифференцирующего звена;

ж) идеального интегрирующего звена?

Лабораторная работа № 2.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

Цель работы: изучение частотных характеристик типовых звеньев и приобретение навыков их обработки.

Общие сведения

Одним из основных методов анализа и синтеза САР являются частотный метод. Частотные характеристики дают возможность определять запасы устойчивости звеньев и систем, оценивать динамические свойства линейного звена или системы в целом, корректировать САР. Линейным называется звено, которое описывается линейным дифференциальным уравнением. Линейное звено при входном гармоническом воздействии вида Xsinwt, имеет выходную величину в виде гармонических колебаний Ysin(wt + j) той же угловой частоты w. При этом амплитуда и фаза входных и выходных колебаний могут отличаться друг от друга. Это свойство используется для составления частотных характеристик. Частотные характеристики бывают: годографы – амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ), амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), фазочастотные характеристики (ФЧХ), логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ).

Аналитические выражения для описания частотных характеристик могут быть получены из выражения для передаточной функции с использованием подстановки p ® jw

, (2.1)

где –	мнимая единица;
w =2pf –	угловая частота колебаний, рад/с (f – частота колебаний, Гц);
bn ,..., b0 , an ,..., an  –	постоянные коэффициенты.

Выражение (2.1) представляет собой комплексную частотную функцию звена или системы и из него следует определение: частотными характеристиками называются характеристики полученные из подстановки в передаточной функции p на jw , где частота w является переменной. Графическое изображение АФЧХ является годографом.

Выражение W(jw) можно представить в следующем виде:

W(jw) = A(w)e ^{j j (w)} = R(w) + jQ(w) = A(w) [cos j (w) + j sin j (w)], (2.2)

где A(w) –	отношение амплитуд выходных и входных колебаний;
j(w) –	разность фаз выходной и входной величин звена или системы;
R(w) –	действительная часть выражения (2.2);
Q –	коэффициент в мнимой части jQ выражения (2.2);

При этом

; (2.3)

. (2.4)

Для определения R(w) и Q(w) из формулы (2.1) можно воспользоваться следующим выражением: (a+jb)(a–jb) = a²+b², где a, b – произвольные числовые значения. Например, если , то числитель и знаменатель следует умножить на (1 – j0,6w). Тогда

.

Отсюда ; .

Функция отношения амплитуд выходных и входных колебаний A(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), функция разности фаз выходной и входной величин звена или системы j (w) называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) или L(w) это характеристика полученная из формулы

L(w) =20lg A(w),

где A(w) – АЧХ.

При построении ЛАЧХ по оси ординат откладывается усиление звена или системы в децибелах (дБ) в равномерном масштабе.

При построении фазочастотной характеристики по оси ординат откладывается фаза в равномерном масштабе в радианах или в градусах.

При построении АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ по оси абсцисс откладывается десятичный логарифм угловой частоты lgw.

ЛАЧХ имеет форму кривой, левая часть которой при малых частотах, и правая при больших частотах приближаются к прямым, которые являются асимптотами. Пересечение прямых даёт частоту сопряжения, которая определяет постоянную времени звена (ω₀ = 1/ Т ). Для колебательного звена она равна резонансной частоте. В анализе и синтезе САР используются спрямлённые ЛАЧХ ввиду удобства их построений и графических сложений. Для типовых звеньев наклон асимптоты имеет только четыре значения: ± 20дБ/ дек и ± 40/дБ/ дек. Если прямая идёт вниз с лево на право, то ставится знак « –». Если прямая идёт вверх с лево на право, то ставится знак « + ». На рис. 2.1 показано построение асимптот и нахождение частоты сопряжения для двух звеньев на ЛАЧХ , полученных в результате расчёта.

а

б

Рис. 2.1. ЛАЧХ звеньев: а – апериодического (lgω₀ = 0, ω₀ = 1, Т = 1, наклон равен – 20дБ/дек); б – колебательного (lgω₀ = 0, ω₀ = 1, Т = 1, наклон равен – 40дБ/дек)

Годограф амплитудно-фазовой характеристики строится при изменении частоты от 0 до ¥ по уравнению (2.2) или (2.3 и 2.4). Построение годографа приведено на рис.2.2.

Рис. 2.2. Построение годографа АФХ: а – вектор отношения амплитуд выходной и входной величин W(jω)

при частоте ω; б – годограф АФХ

В табл. 2.1. приведены АЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ и годографы (АФЧХ) типовых звеньев.

Таблица 2.1

Общий вид АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и АФЧХ типовых динамических звеньев

Типовое звено, Передаточная функция	АЧХ	ЛФЧХ	ЛАЧХ	ЛАЧХ при k = 1	АФЧХ
Безынерционное, W(s)= k
Апериодическое, W(s)= = k / (Тs +1)
Инерционное 2-го порядка, W(s)= k /(Т 2s2+ +2ξТs +1) ξ > 1			L(ω) = 20lgk	k = 1
Колебательное, W(s)= k /(Т 2s2+ +2ξТs+ 1 ) ξ < 1

Продолжение таблицы 2.1

Типовое звено, Передаточная функция	АЧХ	ЛФЧХ	ЛАЧХ	ЛАЧХ при k = 1	АФЧХ
Дифференцирующее 1-го порядка, W(s)= k (Тs +1)
Реальное дифференцирующее, W(s)= ks /(Тs + 1)
Идеально дифференцирующее, W(s)= k s
Идеально интегрирующее, W(s)= k / s
Запаздывающее W(s)= k e –sτ

Описание работы в среде программного комплекса «МВТУ» в режимах АНАЛИЗ

Начало работы в режиме Анализ производится в режиме Моделирование . Построение структурной схемы изложены в лабораторной работе № 1.

В Схемном Окне составте структурную схему из блоков Ступенька, исследуемое динамическое звено, Временный график. Затем дополните её до вида, показанного на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Переместите курсор на закладку Субструктуры и однократным щелчком левой клавиши «мыши» инициализируйте одноименный каталог в Общетехнической библиотеке типовых блоков. Перенесите в Схемное Окно два блока В память и проведите к ним линии связи, как это показано на рис. 2.2. По умолчанию блоки имеют имена Y1, Y2 и т.д. Отвевление от линии связи производится следующим образом. Наводится стрелка «мыши» на линию связи, нажимается и удерживается клавиша Ctrl , нажимается левая кнопка «мыши» и проводится линия вниз до уровня порта блока В память , кнопка «мыши» отпускается, при этом вертикальная линия закрепляется, далее нажимается левая кнопка «мыши» и проводится линия до порта блока. Двойным нажатием левой кнопки «мыши» линия закрепляется в порту.

Переместите курсор на 1-ый блок В память (с текстом Y1), откройте его диалоговое окно и введите в верхней строке новое имя переменной, например, Вход. Точкой подключения 1-го блока В память к линии связи между блоками Генератор сигналов и Динамическое звено, а также именем переменной (Вход) задана точка приложения единичного гармонического воздействия: sin(wt). В программе отсутствует буква ω , поэтому круговая частота в ней обозначается буквой w.

Закройте диалоговое окно 1-го блока и сделайте под блоком поясняющую подпись: sin(w*t) (щелчок правой клавишей «мыши» по блоку, далее опция Свойства и далее …).

Повторите вышеописанное для 2-го блока В память, присвоив новой переменной любое «оригинальное» имя, например, Выход. Точка подключения 2-го блока В память и имя переменной (Выход) задают точку выхода при расчете амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ).

Сделайте под 2-ым блоком В память поясняющую подпись A sin(w*t + fi) и структурная схема САР примет вид, подобный рис. 2.2.

Проверьте, что параметры всех блоков в структурной схеме соответствуют исходным. Можно выполнить «контрольное» моделирование и убедится, что переходной процесс идёт без ошибок, или обязательно щелкнуть кнопку Старт , иначе расчёт остановится и появится окно рис. 2.3.

Рис.2.3 Рис.2.4

В строке меню щёлкните кнопку Анализ и в открывшемся меню щелкните строчку Частотный анализ. Откроется панель Параметры частотного анализа (рис.2.4).

Нажмите кнопку Характеристик в столбце Создать окно и кнопкой установите число выводимых характеристик. В полях Начальная и конечная частота установите 0.1 и 1000, при необходимости их можно изменить. При щёлканье мышью по тёмным полям таблицы открываются закладки. В первых двух указываются Вход и Выход, в третьей название характеристики (например ЛАХ). Панель приобретает вид – рис.2.5. Щёлкнуть по кнопке Да, панель закроется, далее открыть её вновь и щёлкнуть по кнопке Расчёт . Появится график ( k = 10, T = 1), рис.2.6.

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Далее откройте панель Параметры частотного анализа, в столбце Характеристика установите АЧХ и щёлкните по кнопке Расчёт. Повторите расчёт для Характеристики ФЧХ. Полученные графики (Рис.2.6 – 2.8) копируйте в свой файл.

Рис. 2.7. Скорректированная АЧХ Рис. 2.8

Программа позволяет выводить несколько графиков одновременно. В этом случае требуется тщательная настройка графика.

Далее откройте панель Параметры частотного анализа, в столбце Создать окно щёлкните кнопку Годографов. В столбце Характеристика установите Найквиста и щёлкните по кнопке Расчёт. Полученный годограф (Рис.2.9) скопируйте в свой файл.

Рис.2.9

Закройте все графики, оставив Схемное Окно. В Схемном Окне убрать динамическое звено, а вместо него вставить следующее звено из табл. 2.2. Произведите расчёт по выше изложенной методике для всех звеньев.

По выведенным графикам произвести их обмер для каждого динамического звена и произвести расчёты.