§20. Числовые характеристики функции случайной величины

Пусть случайная величина ξ=ξ(ω) задана на некотором вероятностном пространстве , а функция y=φ(x) задана на действительной оси -∞<x<+∞. Суперпозиция этих функций φ(ξ(ω))=φ(ξ)=η будет случайной величиной, если функция φ(x) интегрируемая. Рассматривают и функцию φ(ξ)=η, когда ξ= (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) - случайный вектор.

Если известен закон распределения аргумента ξ, то всегда можно найти и закон распределения функции φ(ξ)=η. Пусть, например, ξ - дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

xk	x1	x2	…	xn
pk	p1	p2	…	pn

Т.к. события (ξ=x_k) и (η=φ(x_k)) равные, (ξ=x_k)=(η=φ(x_k)), то P(ξ=x_k)=P(η=φ(x_k))=p_k. Таким образом, получается закон распределения функции φ(ξ)=η.

φ (xk)	φ (xk)	φ (x2)	…	 (xn)
pk	p1	p2	…	pn

Если φ(x_k) не совпадают между собой, то последняя таблица будет рядом распределения случайной величины η=φ(ξ). Если некоторые φ(x_k) совпадут между собой, их можно объединить, а соответствующие вероятности сложить. Эта операция необязательна при нахождении числовых характеристик, т.к. является приведением подобных членов в сумме, что не меняет эту сумму.

Используя последнюю таблицу, запишем:

(1)

(2)

где m_φ=M[φ(ξ)].

Если ξ - непрерывная случайная величина, то по аналогии с (1) и (2) запишем

(1)

, (2^)

где f(x) – плотность распределения аргумента ξ.

Формулы (1^) и (2^) справедливы и в случае, когда ξ=(ξ₁, ξ₂,…, ξ_n) – случайный вектор. Тогда и x=(x₁, x₂,…, x_n) – -мерный вектор, dx= (dx₁, dx₂,…, dx_n), а несобственный интеграл n-кратный. Таким образом, чтобы найти числовые характеристики функции φ(ξ), достаточно знать закон распределения аргумента ξ.

Часто закон распределения аргумента ξ не известен, а известны только его числовые характеристики. Возникает задача найти числовые характеристики функции φ(ξ)= η, зная только числовые характеристики аргумента ξ этой функции. В общем случае эта задача не разрешима, однако для некоторых частных случаев ее можно решить. Рассмотрим эти частные случаи.

Теорема 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е.

Доказательство. Пусть – линейная функция случайного вектора ξ= (ξ₁, ξ₂,…, ξ_n), f(x) - плотность распределения этого вектора. Тогда, согласно (1^), имеем:

= =

= .

Теорема доказана.

Следствие. . Доказательство аналогично, a_i и b – неслучайные коэффициенты.

Теорема 2. . (3)

Доказательство. Пусть ζ=ξ+η. По теореме 1 M[ζ]=m_ξ+m_η.

D[ζ]=M[(ζ-m_)²]=M[((ξ-m_ξ)+(η-m_η))²]=M[(ξ-m_ξ)²+(η-m_η)²+2(η-m_η) (ξ-m_ξ)]=D_ξ+D_η+2K_ξη. Теорема доказана.

Замечание. Формулу (3) можно обобщить на n слагаемых:

. (4)

Следствие 1. Если ξ_i некоррелированны, то из (4) получим:

(5)

Следствие 2.

Теорема 3. (6)

Доказательство.

Теорема доказана.

Следствие. если ξ и η некоррелированные.

Теорема 4. Если ξ и η независимые, то

(7)

Доказательство. Т.к. ξ и η независимые, то согласно следствию теоремы 3: тогда

Теорема доказана. При доказательстве пользовались формулой (см. § 10).

Пример. Случайные величины ξ и η представляют собой ошибки, возникающие на входе прибора. Они имеют математические ожидания m_ξ = -2, m_η = 4, дисперсии D_ξ = 4, D_η = 9, коэффициент корреляции этих ошибок r_ξη = -0,5. Ошибка на выходе прибора связана с ошибками на входе cледующей функциональной зависимостью:

. Найти математическое ожидание ошибки на выходе прибора.

Решение. ,

, .

Подставляя найденные значения в первую формулу, найдем M[ζ]=68.