§16. Числовые характеристики многомерной случайной величины

Основными числовыми характеристиками двумерной случайной величины (ξ,) являются начальные и центральные моменты.

Определение 1. Начальным моментом α_ks порядка (k+s) случайной величины (ξ,) называют число, определяемое формулой

. (1)

Здесь f(x,y) - плотность распределения случайного вектора (ξ,).

Очевидно, α₀₀=1. Наиболее употребительными являются начальные моменты α₁₀ и α₀₁.

= =

=

Аналогично найдем, что α₀₁=m_η. Точку (m_ξ,m_η) называют центром распределения величины (ξ,).

Определение 2. Центральным моментом _ks порядка (k+s) случайной величины (ξ,) называют число, определяемое формулой:

. (2)

Поскольку μ₀₁= μ₁₀=0, то наиболее употребительными являются центральные моменты второго порядка μ₂₀, μ₀₂, μ₁₁.

==.

Аналогично найдем, что μ₀₂=D_η; D_ξ и D_η – дисперсии компонент ξ и . Они характеризуют рассеяние случайного вектора (ξ,) в направлениях осей координат x и y.

Особую роль играет второй смешанный момент μ_11:

. (3)

Его называют корреляционным моментом. Формулу (3)можно преобразовать к виду:

К_ξη=α₁₁ – m_ξm_η. (3^)

Если случайная величина (ξ,) дискретная с конечным числом возможных значений, то формулы (1), (2), (3) удобнее писать в виде:

, (1^)

, (2^)

(3^)

Теорема. Если ξ и η независимые, то корреляционный момент равен нулю, k_ξη=μ₁₁=0.

Доказательство. Если ξ и η независимые, то f(x,y)=f₁(x)f₂(y). Тогда

= 0.

Теорема доказана.

Определение 3. Если корреляционный момент К_ξη равен нулю, то ξ и η называются некоррелированными. Если К_ξη0 - то они называются коррелированными.

Следствие. Коррелированные величины являются зависимыми.

Доказательство. От противного. Пусть они независимые. Тогда согласно теореме К_ξη=0, что противоречит условию. Следствие доказано.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. зависимые случайные величины могут быть некоррелированными, а некоррелированные - зависимыми.

Из теоремы и следствия ясно, что корреляционный момент К_ξη характеризует не только рассеяние случайного вектора (ξ,), но и в какой-то степени зависимость между величинами ξ и . Для оценки степени этой зависимости вводят понятие коэффициента корреляции:

. (4)

Можно доказать, что . При этом, если r_ξη=0, то величина ξ и η некоррелированные, если , то они связаны линейной функциональной зависимостью. Таким образом, чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем теснее линейная связь между компонентами ξ и η.

Аналогично определяются числовые характеристики n-мерного случайного вектора ξ=(ξ₁, ξ₂,…,ξ_n). В частности:

(5)

(6)

(7)

Из (7) видно, что K_ij=K_ji, K_ii=D_i.

Корреляционные моменты K_ij образуют корреляционную матрицу. Матрица симметричная, по главной ее диагонали стоят дисперсии компонент вектора.

Пример. Найти корреляционный момент K_ξη случайного вектора пр.1 §14.

Решение. В пр.1 §14 найдены ряды распределения компонент ξ и η. Воспользуемся ими и найдем m_ξ и m_η:

Согласно (3^//):

Итак, K_ξη=-0.555, следовательно, компоненты ξ и η зависимые.