§15. Независимость случайных величин. Условные законы распределения

В §5 были введены понятия независимых и зависимых случайных событий. Аналогичные понятия вводятся и для случайных величин.

Пусть случайные величины ξ₁,ξ₂,…,ξ_n заданы на некотором вероятностном пространстве (Ω,,P). Случайные величины ξ₁,ξ₂,…,ξ_n называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если имеет место равенство (1)

для произвольных x₁, x₂,…,x_n. Если равенство (1) переписать в виде:

то легко перейти к терминам функции распределения

. (1^)

Здесь F(x₁, x₂,…,x_n) - функция распределения случайного вектора ξ=(ξ₁, ξ₂,…,ξ_n), а F_i(x_i) - функция распределения i-ой компоненты вектора ξ.

Теорема. Пусть f(x₁, x₂,…,x_n) - плотность распределения случайного вектора ξ=(ξ₁, ξ₂,…,ξ_n). Случайные величины ξ₁, ξ₂,…,ξ_n независимы тогда и только тогда, когда во всех точках непрерывности функций f(x₁, x₂,…,x_n), f_i(x_i), i=1,2,…,n имеет место равенство

(2)

(без доказательства).

Здесь f_i(x_i) - плотность распределения i-ой компоненты вектора ξ.

Естественно, если условие (1^) или (2) не выполняется, то случайные величины ξ₁, ξ₂,…,ξ_n зависимые. Однако, речь идет не о функциональной, а о так называемой вероятностной зависимости. Например, количество выпавших осадков и урожай - величины случайные. Интуитивно ясно, что они зависимые, но эта зависимость не функциональная. В предельном случае вероятностная зависимость может перейти в функциональную.

Если случайные величины зависимые, то функция распределения (плотность), например, первой компоненты вектора будет зависеть от того, какие значения приняли остальные компоненты вектора. Такую функцию распределения (плотность) называют условной и говорят об условном законе распределения.

Рассмотрим двумерный случайный вектор (ξ,). Тогда F₁(x/y) - условная функция распределения компоненты ξ при условии, что вторая компонента  приняла значение y. Аналогично определяются F₂(y/x), f₁(x/y), f₂(y/x). Условные функция и плотность распределения обладают всеми свойствами безусловных функций и плотности распределения.

Можно доказать, что если ξ и  зависимые, то вместо (1^) и (2) справедливы следующие формулы:

F(x,y)=F₁(x)F₂(y/x)= F₂(y)F₁(x/y), (3)

f(x,y)=f₁(x)f₂(y/x)= f₂(y)f₁(x/y). (4)

Равенства (3) и (4) называют теоремой умножения законов распределения. Из формул (1^)-(4) следует, что условие независимости случайных величин ξ и  можно записать в виде:

F₁(x/y)=F₁(x), F₂(y/x)=F₂(y),

f₁(x/y)=f₁(x), f₂(y/x)=f₂(y). (5)

Для дискретной случайной величины (ξ,) условные вероятности даются формулами:

, (6)

. (7)

Пример 1. Найти закон распределения компоненты ξ случайного вектора (ξ,), если а) =y₁=3,

б) =y₂=6 (см. пр.1 §14)

Решение: т.к. P(=3)=0,5 и P(=6)=0,5, то согласно (6) получим:

а) P(ξ =x_i/3)= p_i1/0,5; б) P(ξ =x_i/6)= p_i2/0.5, i=1,2,3,4. Условными законами распределения являются таблицы:

а)	xi	1	3	4	8
	pi	0,30	0,12	0,50	0,08
б)	xi	1	3	4	8
	pi	0,6	0,2	0,06	0,14

Пример 2. Cлучайный вектор (ξ,) задан своей плотностью f(x,y)=exp(–4(x-2)²–6xy–9y²). Найти условную плотность компонент ξ и . Зависимы ли ξ и  ?

Решение: Плотности распределения ξ и  - f ₁(x) и f ₂(y) найдены в пр.2 §14. Из (4) найдем:

,

.

Поскольку f₁(x/y)f₁(x), то ξ и  зависимые.