§26. Доверительный интервал

Точечная оценка α* некоторой числовой характеристики α, как уже отмечалось, является случайной величиной. Ясно, что замена точного (но неизвестного) значения α на оценку α* может привести в некоторых случаях к серьезным ошибкам. Поэтому необходимо определить точность (надежность) оценки α*. Для определения надежности оценки пользуются доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Зададим некоторую достаточно большую вероятность β, например, β=0,9, β=0,95, β=0,99 и найдем такое значение ε>0, для которого выполняется неравенство

. (1)

Равенство (1) можно переписать в виде

. (1^)

Равенство (1^/) означает, что точное, но неизвестное α накрывается интервалом с вероятностью β. Интервал называется доверительным, а вероятность β доверительной вероятностью или надежностью.

Найдем доверительный интервал для математического ожидания m_ξ, если за его оценку взято среднее арифметическое n независимых измерений, т.е. . Пусть M[x_i]=, D[x_i]=σ². Тогда

Предположим, что измерения x_i распределены нормально N(,σ). Тогда их характеристическая функция

(см. (10) §24).

Согласно свойствам (1) – (2) §24 характеристической функцией случайной величины будет

. (2)

Из (2) видно, что распределена по нормальному закону N(,σ). Тогда согласно (1)

.

Из последнего уравнения найдем:

. (3)

Здесь Ф^-1(х) - функция, обратная интегралу вероятностей. Итак, если средняя квадратичная ошибка измерений σ известна, то по формуле (3) найдем ε и, следовательно, найдем доверительный интервал .

Замечание. Ели независимые измерения x_i распределены по закону, отличному от нормального, то, согласно центральной предельной теореме, сумма при больших n распределена по нормальному закону. Поэтому и в этом случае можно пользоваться формулой (3).

Если σ неизвестна, то формулой (3) пользоваться нельзя. В этом случае поступим следующим образом. Рассмотрим случайную величину

, (4)

где - оценка дисперсии. Доказано, что если x_i распределены нормально, то случайная величина τ распределена по закону Стьюдента с n-1 степенью свободы. Ее плотность распределения дается формулой

. (5)

Зная закон распределения τ, можно найти доверительный интервал для математического ожидания. Из (1) получим

,

где , а τ определяется формулой (4). Т.к. распределение Стьюдента симметричное, то

. (6)

Из равенства (6) найдем t_β, а поскольку , то и доверительный интервал l_β , будет известен:

Величину t_β находят по специальным таблицам или вычисляют на ЭВМ.

Пример 1. Найти доверительный интервал для величины заряда электрона по данным Милликена, если β=0,99 (см. §11).

Решение. Будем считать, что ошибки измерений, следовательно, и сами измерения x_i распределены нормально. Т.к. σ неизвестна, то воспользуемся формулой (6)

.

По таблице найдем t_β=2,665. Тогда

. (см. §11)

Т.к. , то доверительный интервал будет .

Найдем теперь доверительный интервал для дисперсии, если независимые измерения распределены нормально, а в качестве оценки дисперсии взята величина

. (7)

Преобразуем (7) следующим образом

. (8)

В

еличины нормированные, независимые со стандартным нормальным распределением N(0,1) (см. §24). Доказано, что величина χ ² в этом случае распределена по закону хи-квадрат с (n-1) степенью свободы. Плотность f(x) этого распределения см. §12. Зная закон распределения, найдем вероятность попадания величины χ² в любой интервал (x₁,x₂). Пусть

, (9)

где β – доверительная вероятность. Т.к. кривая распределения не симметричная, то в уравнении (9) два неизвестных: x₁ и x₂. Поэтому наложим дополнительное условие, а именно, потребуем равенства

. (10)

Поскольку (см. рис. 24), то из (9) и (10) следует

, . (11)

Из уравнений (11) найдем неизвестные x₁ и x₂. Т.к.

, то или

. (12)

Из (12) следует искомый доверительный интервал для дисперсии

. (13)

Пример 2. Найти доверительный интервал для дисперсии измерений заряда электрона (см. §11).

Решение. По таблице распределения хи-квадрат при n=58, β=0,99 найдем x₁=33,21 и x₂=88,18. Согласно (13)

.

Средняя квадратичная ошибка σ измерений с вероятностью β=0,99 лежит в интервале

.

217