Ye_Yu_Dorohina_M_A_Halikov_-_Modelirovanie_m

D = А^{* -1}. (3.3)

Тогда

Х^*= D В. (3.4)

Скалярно расписав это равенство, получим для каждого из базисных неизвестных оптимального плана следующее аналитическое выражение:

Так как обращение матрицы предусматривает ее транспонирование, то по строкам матрицы D идут продукты, а по столбцам - ресурсы. Отсюда индексация элементов d_ji именно в таком, обратном первоначальному порядке.

Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции. Изменим размер выделяемых ресурсов, т.е. дадим приращение    вектору  . Тогда

Х^* + Х^* = D (B + B) = D B + D B.

C учетом (2.2) можем записать

 Х^* = D B. (3.6)

Или скалярно, для каждого базисного переменного

В нашем примере (см. ограничения 3.1) матрицу А^* образуют те столбцы норм затрат, которые соответствуют базисным в оптимальном плане неизвестным х₁^*, х₂^*, х₄^*:

х₁^* х₂^* х₄^* х₃ х₄ х₅

х₃ 0,05 0,5 0 х₁^* -2,5 0 5

А^* = х₄ 1,1 1 1 ; D = х₂^* 2,25 0 -0,5

х₅ 0,225 0,25 0 х₄^* 0,5 1 -5

В полученной матрице D строки соответствуют базисным переменным х₁^*, х₂^*,х₄^*, а столбцы — ресурсам. Сравнив ее с табл.3.1(в), видим, что матрица эффективности D фактически представлена в столбцах табл.3.1(в) последнего шага решения. Следует пояснить, что строки в табл.3.1(в) чередуются в порядке, сложившемся в процессе решения задачи (т.е. х₂, х₄, х₁) .

Вектор оптимального плана Х^* может быть получен согласно условию (3.4) как произведение матрицы D на вектор ресурсов В:

-2,5 0 5 20 110

2,25 0 -0,5  180 = 29 .

0,5 1 -5 32 30

Или же каждое значение базисного неизвестного может быть получено отдельно из условия (3.5), например:

х₂^* = 2,25  20 + 0  180 + (-0,5) 32 = 29.

Пусть фонд оборотных средств возрос на 10 тыс.руб., трудовые ресурсы уменьшились на 10 тыс.чел.-ч, а ресурсы электроэнергии остались те же. Согласно (3.6) последуют следующие изменения плана добычи:

-2,5 0 5 10 -75

Х^* = 2,25 0 -0,5  0 = 27,5 .

0,5 1 -5 -10 55

А в целом план добычи будет таким:

110 -75 35

Х ^* + Х^* = 29 + 27,5 = 56,5 .

30 55 85

Для заданного в исходной модели вектора наличного запаса ресурсов В = (20, 180,32) значение целевой функции с = 62,3 тыс. т суммарной добычи условного топлива. В случае указанного выше изменения вектора ресурсов на величину В = (10,0,-10) получено изменение оптимального плана добычи торфа на величину х₁^* = -75 тыс.т и угля на величину х₂^*=27,5 тыс.т. Определим величину, на которую изменился критерий оптимальности:  с = 0,25  (-75) + 1,2  27,5 = 14,25 (тыс.т условного топлива). Таким образом, экономический эффект от указанного изменения вектора ресурсов оказывается положительным. Оценим данный результат с позиций двойственных оценок ресурсов. Исходя из последней симплекс-таблицы 3.1(в) (значений коэффициентов первой строки), двойственная оценка оборотных средств предприятия равна 2,075 т усл.топлива /руб., двойственная оценка ресурсов — 0,65 т усл.топлива / чел.ч, а двойственная оценка ресурсов электроэнергии — нулевая (так как переменная х₄ находится среди базисных переменных исходной задачи, являющейся по определению прямой).

В силу первой теоремы двойственности (см. соотношение 2.27) увеличение в потреблении предприятия оборотных средств в размере 10 тыс.руб. приведет к увеличению выпуска условного топлива на 10  2,075 = 20,75 тыс.т, а уменьшение трудовых ресурсов на 10 тыс.чел.ч приведет к уменьшению выпуска на 10  0,65 =6,5 тыс.т. Суммарный эффект составит 20,75 - 6,5 = 14,25 тыс.т, т.е. совпадет в рассчитанным выше.

Рассмотрим вектор Х, в который входят свободные переменные из последней симплекс-таблицы. Вектор Х формируют те неэффективные виды продукции, производство которых в оптимальном плане невыгодно. Однако в ряде случаев может оказаться необходимым их производство (например, корректировка плана в конце года) или целесообразен анализ альтернативных планов выпуска. Для производства новой продукции, задаваемой конкретными значениями вектора Х, потребуются ресурсы (в размере А Х), что уменьшит их количество, выделяемое для базисных видов продукции. Это в свою очередь изменит размер ее производства, т.е.

Х^* +  Х^* = D (B - А Х) = DB - D А Х.

Учитывая условие (3.4), имеем  Х^* = - D АХ. Обозначим через Н произведение матриц D и А:

Н = D А . (3.8)

Тогда

 Х^* = - Н Х. (3.9)

Матрица Н характеризует влияние переменных, неэффективных с точки зрения оптимального плана (нулевых в точке оптимума), на величину эффективных (ненулевых) переменных. Знак “минус” говорит, что это влияние обратно, т.е. элементы матрицы Н показывают уменьшение каждого из базисных неизвестных оптимального плана при увеличении на единицу какого-либо из небазисных. Иными словами, матрица Н есть матрица коэффициентов замены.

Обозначим через f индекс небазисной переменной, а через x_f — ее значение. Тогда скалярно расписав условие (3.9), получим для каждой из базисных переменных:

Найдем матрицу коэффициентов замены для нашего примера.

-2,5 0 5 1 0 -2,5 5

Н = 2,25 0 -0,5  0 0 = 2,25 -0,5 .

0,5 1 -5 0 1 0,5 -5

Сравнив с табл.3.1(в), видим совпадение матрицы Н со столбцами свободных переменных х₃ и х₅. Предположим, мы хотим “сэкономить” фонд оборотных средств и трудовые ресурсы, оставив неиспользованными 10 тыс.руб. и 10 тыс.чел.-ч . Тогда по условию (3.9)

-2,5 5 10 -25

 Х^* = - 2,25 -0,5  = -17,5 .

0,5 -5 10 45

Таким образом, указанная “экономия” ресурсов вызвала уменьшение добычи торфа на 25 тыс.т (x₁^* = -25) и добычи угля на 17,5 тыс.т(x₂^* = -17,5), но увеличила (отрицательное уменьшение) неиспользованный остаток ресурсов электроэнергии на 45 тыс.кВт.ч .

Рассмотрим важный для дальнейшего изложения случай, когда одна из свободных переменных должна в результате подходящей замены вытеснить из оптимального плана одну из базисных переменных. Обозначим через k индекс той свободной переменной, которую мы хотим сделать ненулевой (x_k  ), оставив все прочие (f  k) нулевыми (x_f = 0). Тогда условие (3.10) преобразуется в x_J = - h_Jk x_k. Положительные приращения (x_j ^*  ) могут быть сколь угодно велики, а отрицательные (x_j ^* ) по абсолютной величине не могут превосходить первоначальные значения базисных переменных. При  x_j ^* = - x_j ^* базисная переменная превращается в ноль, т.е. перестает быть базисной и полностью уступает место в плане другой неизвестной, бывшей в первоначальном плане ненулевой.

В каких же размерах следует начать производить продукцию k-го вида, чтобы она полностью вытеснила j-ю? Итак нас интересует случай, когда x_j ^* + x_j ^* = 0, т.е.  x_j ^* = - x_j ^*. Тогда, подставив - x_j ^* вместо x_j ^*, получим - x_j ^* = - h_Jk x_k или x_j ^* = h_Jk x_k , откуда

Выражение (3.11) определяет объем производства ранее не выпускаемой (невыгодной в оптимальном плане) продукции x_k, потребный для полной замены (вытеснения) выгодной продукции x_j^*. Важно, чтобы коэффициент замены был положительным, т.е. h_Jk   , так как в выражении (3.11) x_k  и x_j^*  .

В нашем примере коэффициент замены торфа на неиспользованный остаток трудовых ресурсов равен 5. В соответствии с (3.11) x₅ = 110 тыс.т торфа : 5 т торфа /чел.ч = 22 тыс. чел.ч . Появление в плане неиспользованных остатков трудовых ресурсов в размере 22 тыс.чел.ч (стремление сэкономить столько труда) вызовет полное прекращение добычи торфа. Такая “экономия” изменит и остальные компоненты плана, что можно проследить, исходя из по формулы (3.9):

-2,5 5 0 110 -110

 Х^* = - 2,25 -0,5  = - -11 = 11 .

0,5 -5 22 -110 110

Таким образом, уменьшение добычи торфа до нуля, т.е. на 110 тыс.т, сопровождается ростом добычи угля на 11 тыс.т и увеличением неиспользованного остатка ресурсов электроэнергии на 110 тыс. кВт.ч. Уголь (x₂ ^*) и остаток электроэнергии (x₄ ^*) не уменьшились, а увеличились вследствие отрицательности соответствующих коэффициентов замены (-0,5 и -5). Очевидно, “экономия” трудовых ресурсов, уменьшив до нуля добычу торфа, тем самым дополнительно высвободила часть фонда оборотных средств, что позволило увеличить добычу угля. Высвобождение же затрачиваемой ранее на торф электроэнергии позволило резко увеличить ее неиспользованный остаток. Отрицательный коэффициент замены (h_Jk  ) показывает, как мы уже отмечали ранее, не уменьшение, а увеличение базисного неизвестного x_j ^*, вызываемое увеличением неизвестного x_k на единицу. В этом случае никакое увеличение x_k не вытеснит (ни полностью, ни частично) из плана неизвестное x_j ^*. Отрицательный коэффициент h_Jk говорит о том, что уменьшение производства продукции x_j ^* будет происходить вследствие уменьшения (отрицательного увеличения) производства продукции x_k. Но в оптимальном плане x_k равен нулю, и уменьшение сделает его отрицательным. Действительно, так как x_j ^*  , то в случае h_jk   по условию (3.11) x_k .

Для дополнительных переменных x_n+i (ресурсов) возможна интерпретация отрицательных значений x_k. Если положительная величина дополнительной переменной (x_k  ) означает наличие неиспользованного остатка соответствующего ресурса или, что то же самое, уменьшение фактического использования ресурса против величины общего его размера b_k, то отрицательная величина этой переменной (x_k) означает “переисполь-зование” соответствующего ресурса, т.е. его рост против величины b_k . Таким образом, для отрицательных коэффициентов замены (h_jk  ) из условия (3.11) можно найти величину прироста соответствующего ресурса, которая вызовет уменьшение до нуля (полное исчезновение из плана) производства продукции x_j ^*.

Действительно, пусть расчет по формуле (3.11) определил, что x_k . Представим данную переменную по-прежнему неотрицательной, условно вынеся знак “минус” в саму запись соответствующего ограничения

где x_j ^**— новые значения базисных переменных, вызванные превращением бывшей свободной переменной x_k в отрицательное число.

Перенесем неизвестное x_k, обозначающее недоиспользованный остаток k -го ресурса (правда, в данном случае оно отрицательно) в правую часть. Получим запись

которая означает, что соответствующие новые значения базисных переменных x_j ^** возможны лишь при увеличении первоначального количества k -го ресурса в размере b_k на некоторую положительную величину x_k. Иными словами, отрицательное недоиспользование ресурса (x_k ) возможно интерпретировать как дополнительное количество k -го ресурса, требуемое для достижения новых значений базисных переменных, в том числе и того из них, которое уменьшится до нуля.

В нашем примере коэффициент замены торфа на неиспользованный остаток фонда оборотных средств отрицателен и равен -2,5 . В соответствии с (3.11)

x₃= 110 тыс.т торфа : (-2,5) т торфа/руб. = - 44 тыс.руб.

Перерасход фонда оборотных средств(его прирост сверх лимита в 20 тыс.руб.) на 44 тыс.руб. уменьшит добычу торфа до нуля. Весь план производства в соответствии с (3.9) изменится в этом случае так:

-2,5 5 -44 -110

 Х^* = - 2,25 -0,5  = 99 .

0,5 -5 0 22

Таким образом, уменьшение добычи торфа до нуля, на 110 тыс.т, сопровождается ростом добычи угля на 99 тыс.т и увеличением неиспользованного остатка ресурсов электроэнергии на 22 тыс.кВт.ч. В этом случае уменьшение добычи торфа происходит не вследствие сокращения ресурса, а вследствие его роста. Дополнительное увеличение фонда оборотных средств позволяет перевести всю добычу топлива на шахты, полностью отказавшись от добычи низкокалорийного торфа. Ранее такой план был невозможен ввиду малых размеров фонда оборотных средств.

Так как изменение одной свободной переменной x_k с нуля до ненулевой величины вызовет одновременное изменение базисных переменных x_j ^*, то возможно отыскать наименьший размер такого изменения переменной x_k, достаточный для уменьшения до нуля лишь одной базисной переменной x_j ^*. Введем следующие обозначения:

J^*— множество индексов базисных переменных;

J_k1^*— множество индексов базисных переменных, для которых h_Jk   (J_k1^* J );

J_k2^*— множество индексов базисных переменных, для которых h_Jk   (J_k2^* J ), (J_k2^* J_k1^*   );

J_k3^*— индексов базисных переменных, для которых h_Jk =  (J_k3^* J ), (J_k3^*J_k1^*   ), (J_k3^*J_k2^*   ).

Тогда наименьшее достаточное ненулевое значение бывшего нулевого x_k определится следующим образом (см. соотношение (3.11)):

1. Для h_Jk  

Здесь минимальная из положительных дробей покажет наименьшее значение x_k, необходимое для уменьшения до нуля самой “чувствительной” базисной переменной из всей группы аналогично реагирующих x_j ^*. Вследствие наличия минуса в выражении (3.10) положительная величина коэффициента h_Jk указывает на обратную зависимость изменения величин x_k и x_j ^*. При увеличении x_k все x_j ^* из группы j J_k1^* уменьшаются. Чем больше h_Jk, тем скорость такого уменьшения выше.

2. Для h_Jk  

Как отмечено выше, трактовка отрицательных x_k возможна лишь для остатков ресурсов (т.е. для дополнительных переменных группы x_n+i ). Здесь отрицательные значения h_jk свидетельствуют о прямой зависимости изменений величин x_k и x_j ^*. Они уменьшаются или растут одновременно.

3. В случае, когда h_Jk =  изменение x_k не ведет к изменению соответствующих x_j ^*. Поэтому каких-либо расчетов здесь не требуется.

Выше мы проследили связь между двойственными оценками ресурсов и значением критерия оптимальности. Остановимся на этом еще раз. Итак, коэффициенты первой строки последней симплекс-таблицы (см. табл.3.1(в)) показывают размер изменения критерия оптимальности (суммарной добычи условного топлива) от изменения в плане соответствующей переменной на единицу. В частности, у₃ = 0,65 показывает, что один неиспользованный чел.-ч уменьшит суммарную добычу условного топлива на 0,65 т. Равным образом такое уменьшение суммарной добычи произойдет и при сокращении величины выделенных трудовых ресурсов на один чел.-ч. Наоборот, дополнительное выделение одного чел.-ч увеличит суммарную добычу условного топлива в таких же размерах, т.е. на 0,65 т.

Итак, коэффициенты первой строки, соответствующие ресурсам, показывают, на сколько изменится значение критерия оптимальности при изменении величины данного ресурса на единицу, и являются двойственными оценками ресурсов. Прежде чем перейти к рассмотрению свойств двойственных оценок, отметим, что при помощи указанных выше формул (3.3)-(3.11) возможно проводить анализ не только оптимального плана, но и всех промежуточных, т.е. допустимых.