11.2. Найпростіший спосіб статистичної обробки кількісних показників

Щоб визначити вірогідність відмінностей двох методик удаються до розрахунку таких статистичних показників (параметрів):

середньої арифметичної величини (умовне позначення М ); середнього квадратичного відхилення (умовне позначення - о , літера „сигма" грецької абетки);

середньої похибки середнього арифметичного (умовне позначення - т)\

середньої похибки різниці (умовне позначення —/). а) Розрахунок середньої арифметичної величини. У найпростіших випадках обчислення цього показника проводять додаванням усіх отриманих значень, що називаються варіантами, та діленням цієї суми на число варіант за формулою:

2Р⁷ М = (1)

і 87

У цій формулі: Е - знак суми;

V отримані в дослідженні значення

(варіанти);

п - число варіант.

Середня арифметична величина дає можливість порівнювати й Оцінювати досліджувані вибірки (групи) в цілому. Однак самої цієї Величини для характеристики досліджуваної вибірки (групи) очевидно Че достатньо, бо для тієї самої середньої арифметичної величини Розмір (амплітуда) коливань варіант, з яких вона складається, може бути різним. Тому потрібно ввести такий показник, що характеризує величину коливань варіант навколо їх середньої арифметичної.

Сенс і практичне значення такого показника можна проілюструвати на такому прикладі: при використанні 12-бальної Системи оцінювання знань у однієї групи учнів можуть бути оцінки 12, ^!-2, 6, 6 (середня арифметична М=9); в іншої групи - 10, 10, 8, 8 (середня арифметична М=9). Очевидно, що міра розсіювання Результатів навколо середньої арифметичної в обох випадках буде Різною, хоча середні арифметичні однакові.

б) Розрахунок середнього квадратичного відхилення

Цей статистичний параметр називається ще стандартним відхиленням чи просто стандартом.

Величина середнього квадратичного відхилення є показником Розсіювання (тобто відхилення варіант, що отримані в дослідженні, від ^]Х середньої арифметичної величини) та доповнює характеристику вибірки (групи).

В педагогічних дослідженнях середнє квадратичне відхилення °<5числюють за розмахом, тобто різницею між найбільшим і Найменшим значенням результатів (варіант) за формулою:

V.

К

(2)

У цій формулі: К_тах - найбільше значення варіанти; У_тт - найменше значення варіанти;

К- табличний коефіцієнт, що відповідає величині розмаху. Коефіцієнт А'визначається за таблицею 1 (Додаток 5). Наприклад, для числа варіант п =21: у таблиці 1 коефіцієнта Кв ^к|зайньому стовпці під індексом я знаходимо число 20, а у верхньому

рядку - цифру 1; на перетині обох рядків знаходимо число 3,78, отже А" =3,78 для я =21.

в) Розрахунок середньої похибки середнього арифметичного

Треба пам'ятати, що поняття "похибка" в статистиці означає не похибку дослідника, а ступінь репрезентативності даної величини, тобто те наскільки середня арифметична величина, отримана на вибірковій сукупності (наприклад середня арифметична оцінок учнів досліджуваних груп), відрізняється від істинної середньої арифметичної величини, яка була б отримана на генеральній сукупності за таких самих умов. Наприклад, ми визначили середню арифметичну величину успішності учнів певної групи. Нам потрібно знати, якою мірою ця величина буде характерна, коли дослідити 2, З, 10 і більше груп учнів. Такою характеристикою і є середня похибка середньої арифметичної величини. Можна сказати, що середня арифметична в інших аналогічних дослідженнях лежить у межах від М — т до М + т .

Середня похибка середньої арифметичної обчислюється за формулою:

(3)

т = +—•:=

У цій формулі: а '- середнє квадратичне відхилення;

п- число варіант. г) Розрахунок середньої похибки різниці

У педагогічних дослідженнях найчастіше проводиться експеримент, на основі якого порівнюються дві навчальні методики. Потрібно з'ясувати, якою мірою вірогідності ці дві методики відмінні, тобто, статистичне реальну значущість відмінностей між ними. Вважається, що коли різниця середніх арифметичних величин дорівнює чи більша за три корені квадратних із суми їх середніх похибок, то вона (тобто відмінність двох методик) є вірогідною:

+ т*

(4)

М -М >

У цій формулі: А/|- середня арифметична величина, що характеризує першу методику (експериментальну);

М₂- середня арифметична величина, ш.> характеризує другу методику (традиційну ).

188

189

т

т₂~

_{} 2}~ середні похибки середніх

арифметичних, що характеризують відповідно першу та другу методики (експериментальну і традиційну).

Такий розрахунок середньої похибки різниці застосовується у випадках великого числа варіант п , тобто коли досліджуються великі групи учнів. Якщо в експерименті беруть участь невеликі групи (менше, ніж 20 учнів кожна), то доцільно використовувати розрахунок середньої похибки різниці за формулами:

М, -М₂ І = -~^=^= (5)

+

-2

(6)

С = п,

Приклади розрахунків

Приклад 1.

Нехай у двох групах учнів - експериментальній і контрольній отримані такі тестові бали з навчального предмету. Результати експерименту

Перша група (експериментальна) «/=11 учнів

Друга група (контрольна) ІІ2 - 9 учнів

12,9,7,6, 10, 6,8, 11, 10

12, 10, 11, 12,9,8, 11,7,7, 12,9

1. Розраховуємо середні арифметичні для кожної групи за формулою (1):

12 + 10 + 11+12 + 9 + 8 + 11 + 7 + 7 + 12 + 9 108

11

М,=-

У цих формулах:

/-критерій /-розподілу Ст'юдента; М, і М₂~ середні арифметичні величини, що характеризують відповідно першу та другу методики (експериментальну і традиційну); От] і т₂-їх середні похибки; С — число ступенів свободи; п_} і П₂ - число варіант, отриманих у експериментальній і контрольній групах відповідно.

Після розрахунку І -критерію та числа ступенів свободи Сза таблицею ймовірностей /-розподілу Ст'юдента (Додаток 6) визначається вірогідність відмінностей між двома методиками: експериментальною та традиційною.

У цій таблиці стовпець Іс нормативним відхиленням і містить числа, що показують у скільки разів різниця середніх арифметичних більша за корінь квадратний із суми квадратів їх середніх похибок. За розрахованими показниками /і Су таблиці визначається числоР . Це число показує наскільки ймовірною є помилка в оцінці відмінностей двох методик. Що менше число Р, то більша вірогідність наших висновків про те, що методики (експериментальна та традиційна) суттєво відрізняються.

190

ЕР, 12 + 9 + 7 + 6 + 10 + 6 + 8 + 11 + 10 79

= 8,777.

2. Розраховуємо середні квадратичні за формулою (2). Для розрахунку за таблицею 11.1 (див. Додаток 5) визначаємо коефіцієнти розмаху:

К_{ = 3,17 для числа варіант п, - 11 (перша група); К₇ = 2,97 для числа варіант п₂= 9 (друга група). Найбільші та найменші значення варіант (тестових балів): V] тах = 12; V, гпіп = 7 - для першої групи; vi тах = 12; vi тіп = 6 - для другої групи.

Тоді середні квадратичні відхилення за формулою (2) для обох груп становитимуть відповідно:

V, тах- У\ К,

а, = +-

- = ±1^ = 11,577; 3,17

_{= ±}

12-6

К₂ 2,97

3. Обчислюємо середні похибки середніх арифметичних для кожної групи за формулою (3):

->/тт

191

, о"?

'- = ±0,673'

т,, = + -

4. Розраховуємо середню похибку різниці за формулою (5):

- 8,777 1,041 1,041

'

^!+0,673² ^0,225 + 0,453 0,823

Число ступенів свободи для _п, = П і п₂ = 9 за формулою (б). становитиме:

С = «,+л₂-2 = 11 + 9-2 = 18

За таблицею 2 (див. Додаток 6) для І= 1,3 і С = 18 число Р = 0 21 Таке значення числа Р (Р = 0,21) свідчить про те, що ймовірність помилки в оцінці відмінностей двох запропонованих методик (експериментальної та контрольної) є досить великою, і отже, відмінності між двома методиками можуть бути випадковими (в наукових працях прийнятим є значення Р < 0,05). Приклад 2.

У двох групах учнів, що навчалися відповідно за експериментальною та традиційною методиками (експериментальна і контрольна групи), отримано такі тестові бали з навчального

предмету.

У₂ тах = 1 2; У₂ тіп - 6 - для другої групи.

Тоді середні квадратичні відхилення за формулою (2) для обох груп становитимуть відповідно:

У. тах-К тіп 12

„ ,,„,_ц„ _ _________ _.,„,,' _ „ ~ 4-

_ — „І,

7

-- 1- І А А •> — _!_ 1 * ' '

12-6

3,47

= ±1.65'

К₂ 3,64

3. Обчислюємо середні похибки середніх арифметичних для кожної групи за формулою (3):

4. Розраховуємо середню похибку різниці за формулою (5):

2,689

М

10.466-7.777

5,0'

2,689

Л/ОІЗТ+ІШ2 0.537

Перша група (експериментальна) я/ =15 учнів	Друга група (контрольна) п2 = 18 учнів
10, 12,9, 12, 10,8, 12, 10, 11,11, 10, 12,8, 10, 12.	9,9, 12,7,6,7,6,9,6, 10,6,6,9,7,7, 12 6 6

1. Розраховуємо середні арифметичні для кожної групи за формулою (1):

^^!!^!^1±1±^ГА±і^±1±¹2 + 10 + 11 + 11 + 10 + 12 + 8 + 10 + 12 157

~ ~ = = 10,466'

15

2 + 7 + 6 + 7 + 6 + 9 + 6 + 10 + 6 + 6 + 9 + 7 + 7 + 12

'— ^:

18

4'-'-™

2. Розраховуємо середні квадратичні за формулою (2). Для розрахунку за таблицею 11.1 (див. Додаток 5) визначаємо коефіцієнти розмаху:

К , = 3,47 для числа варіант «/=15 (перша група); К 2 ~ 3>64 для числа варіант п₂ = 1 8 (друга група). Найбільші та найменші значення варіант (тестових балів): V, ггш = 12; V/ тіп = 7 - для першої групи;

192

Число ступенів свободи для ІІІ = 15 і и₂ ⁼ 18 за формулою (6) становитиме:

С = я,+и₂-2 = 15 + 18-2 = 31-

За таблицею 11.2 (Додаток 6) для /= 5 та С = 31 (відповідає оо)число Р —> 0, Таке значення числа Р (Р —> 0) свідчить про те, що ймовірність помилки при оцінці відмінностей двох запропонованих методик дуже мала (наближається до 0) і, отже, відмінності між двома методиками не випадкові.

В цілому, кількісні дані, що ілюструють практичний досвід роботи, можна проаналізувати за методом ранжованого ряду, розподіливши матеріали за роками, звівши їх у статистичні таблиці для порівняння та ін., що дозволить зробити конкретні висновки.