ВВЕДЕНИЕ

Главная проблема применения положений теории надежности на практике – нахождение характеристик законов распределения основных показателей надежности изучаемых объектов.

Вид законов распределения и их числовые характеристики для основных показателей надежности объектов определяют путем сбора, анализа и соответствующей статистической обработки информации об эксплуатации объектов или специальными испытаниями.

Были проведены наблюдения за 54 прессами для производства силикатного кирпича, которые являются основным технологическим оборудованием заводов. Прессы представляют собой многопозиционный револьверный полуавтомат, состоящий более чем из одиннадцати основных узлов и механизмов. В эксплуатации находится более 1200 прессов и изучение и повышение их надежности и долговечности является важной народнохозяйственной задачей.

Для получения эмпирических данных была реализована модель эксплуатации невосстанавливаемых объектов, т.е. наблюдений проводились до отказа всех исследуемых прессов. В результате получено 54 случайных реализаций наработок на отказ прессов в интервале 1400…2450 ч.

1 Исходные данные

Количество прессов – 54.

№ варианта	Номер интервала,
	1	2	3	4	5	6	7
	Ширина интервала, ч.
	1400-1550	1550-1700	1700-1850	1850-2000	2000-2150	2150-2300	2300-2450
10	2	5	10	17	11	6	3

Требуется:

1. Вычислить накопленные частости и построить эмпирические функции вероятности отказа и безотказной работы и гистограмму плотности распределения ресурса.

2. Выбрать теоретическое распределение, выравнивающее эмпирическое.

3. Произвести статистическую оценку параметров выбранного теоретического распределения ресурса.

4. Вычислить координаты точек и построить теоретические функции распределения ресурса: - вероятности отказа; - вероятности безотказной работы; - плотности распределения отказов.

5. Проверить согласованность выбранного теоретического и эмпирического распределения с помощью критерия Пирсона.

2 Расчетная часть

2.1 Оценка вероятности появления отказов по интервалам наработки

(1)

где - число попаданий отказов в разряд интервалов наработки;

- количество объектов в испытании

2.2 Вычисление вероятности отказа

Оценка вероятностей появления отказа за наработку t соответствует накопленной частости попадания в разряды наработки

, (2)

где t – момент времени, равный сумме t_i

;

;

;

2.3 Вычисление вероятностей безотказной работы

В теории надежности состояние отказа и безотказности составляют полную группу противоположных событий, сумма вероятностей этих событий равна единице. Вероятность безотказной работы определяем по соотношению:

(3)

По полученным значениям строим графики распределения и (рисунок 1).

2.4 Построение гистограммы распределения вероятностей

Гистограмма – графическое изображение эмпирической функции плотности распределения вероятностей отказов между границами принятых интервалов разрядов и представляет собой для каждого интервала наработки прямоугольник, площадь которого численно равна опытной частости попадания в разряд.

Рассчитаем высоту прямоугольников гистограммы по следующей формуле:

(4)

где ∆t_i – в нашем случае равно 150.

По полученным значениям строим гистограмму (рисунок 2).

2.5 Выравнивание статистического распределения теоретическим

Вид полученной гистограммы показывает, что статистическое распределение наработки на отказ может быть выражено нормальным законом распределения

где t - математическое ожидание (центр рассеивания) случайной величин t;

S_t – среднеквадратическое отклонение случайной величины t;

В общем случае для непрерывной функции математическое ожидание наработки на отрезках определяется по соотношению

Согласно графику (t) эмпирическая функция распределения вероятностей можно расчленить на трапеции, сумма площадей которых равна эмпирическому значению наработки на отказ

(5)

Среднеквадратическое отклонение

; (6)

где: - середина разряда;

к – число принятых разрядов расчетной таблицы;

- частость попадания в i – разряд.

Для вычисления S_t последовательно вычисляем , , , .

:

:

0. 1942 – 700 = 1242; 4) 1942 – 1925=17;

1. 1942 – 1475 = 467; 5) 1942 – 2075=-133;

2. 1942 – 1625 = 317; 6) 1942 – 2225=-283;

3. 1942 – 1775=167; 7) 1942 – 2375=-433.

:

0. 1542564; 4) 289;

1. 218089; 5) 17689;

2. 100489; 6) 80089;

3. 27889; 7) 187489.

:

0. 0; 4) 90,977;

1. 8069,29; 5) 4192,293;

2. 9295,232; 6) 8897,887;

3. 5162,253; 7)10424,388;.

Принимаем полученные по расчетам значения оценок и S_t за параметры нормального закона распределения.

2.6 Вычисление значений теоретической вероятности безотказной работы

Для вычисления воспользуемся таблицами математической статистики квантилей нормального распределения.

Если условно перенести начало отчета времени на оси абсцисс в точку , а отсчет времени производить в долях среднеквадратического отклонения , то функция вероятности безотказной работы занимается в следующем виде:

где - квантиль нормального распределения;

- табличная функция.

При определении вероятностей следует учитывать правило

и

;

; ;

; ;

; ;

2.7 Вычисление значений теоретической вероятности отказа

Значение вероятности отказа считается по формуле:

(7)

2.8 Вычисление теоретической плотности вероятностей

Плотность вероятностей попадания наработки на отказ в середину разрядов определяем приближенно:

(8)

По полученным значениям строим графики теоретических функций распределения P(t) и F(t) (рисунок 1) и теоретическую кривую плотности распределения вероятностей f(t) (рисунок 2).

2.9 Проверка гипотезы о возможности выравнивания эмпирического распределения нормальным законом

Согласованность теоретического распределения с эмпирическим проверяют по критериям согласия. Выборка наработки на отказ достаточно велика, поэтому можно использовать критерий согласия Пирсона Х².

где - теоретическая частота отказов в интервале ;

- число объектов, отказавших в интервале наработки .

Численные значения теоретических вероятностей попадания наработок на отказ в интервал подсчитываем по соотношению

Теоретическая частота отказов в интервале

=

где N – объем выборки.

=

=

=

=

=

=

=

=

:

0) 4)

1) 5)

2) 6)

3) 7)

:

0) 4)

1) 5)

2) 6)

3) 7)

Определяем число степеней свободы К как число разрядов минус число наложенных связей r=3:

K= S - r = 7 – 3 = 4

Принимая уровень значимости для К=4 из таблицы Пирсона находим значение допустимой меры расхождения

1,7642 < 9,49

Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза оправдывается.