Плоскости и прямые в пространстве. Поверхности второго порядка

Задание 1.

Доказать, что точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

Задание 2.

Cоставить уравнения плоскостей, содержащих грани пирамиды АВСD.

Задание 3.

Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D пирамиды параллельно грани АВС.

Задание 4.

Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру СD.

Задание 5.

Cоставить уравнение прямой, содержащей ребро СD.

Задание 6.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно ребру АС.

Задание 7.

Найти объем пирамиды ABCD.

Задание 8.

Найти длину высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины D.

Задание 9.

Найти площадь грани АВС пирамиды ABCD.

Задание 10.

Найти величину двугранного угла при ребре AB.

Задание 11.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно ребру АВ.

Задание 12.

Составить уравнение прямой, содержащей высоту DН пирамиды ABCD.

Задание 13

Найти координаты основания H высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины D.

В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Й 1-13

	А(–2;1;1);	В(–5;1;–2);	С(–3;0;3);	D(–6;0;1).
	А(–3;–4;1);	В(–2;–3;–5);	С(0;0;0);	D(–6;0;3).
	А(–2;4;5);	В(1;3;–4);	С(–5;–5;1);	D(–1;2;–2).
	А(–1;2;0);	В(–4;2;–3);	С(–2;1;2);	D(–5;1;0).
	А(–2;–3;0);	В(–1;–2;–6);	С(1;1;–1);	D(–5;1;2).
	А(–1;5;–6);	В(2;4;–5);	С(–4;–4;0);	D(0;3;–3).
	А(–3;2;2);	В(–6;2;–1);	С(–4;1;4);	D(–7;1;2).
	А(–4;–3;2);	В(–3;–2;–4);	С(–1;1;1);	D(–7;1;4).
	А(–3;5;–4);	В(0;4;–3);	С(–6;–4;2);	D(–2;3;–1).
	А(0;1;1);	В(–3;1;–2);	С(–1;0;3);	D(–4;0;1).
	А(1;–2;1);	В(1;–5;–2);	С(0;–3;3);	D(0;–6;1).
	А(–4;–3;1);	В(–3;–2;–5);	С(0;0;0);	D(0;–6;3).
	А(4;–2;–5);	В(3;1;–4);	С(–5;–5;1);	D(2;–1;–2).
	А(2;–1;0);	В(2;–4;–3);	С(1;–2;2);	D(1;–5;0).
	А(–3;–2;0);	В(–2;–1;–6);	С(1;1;–1);	D(1;–5;2).
	А(5;–1;–6);	В(4;2;–5);	С(–4;–4;0);	D(3;0;–3).
	А(2;–3;2);	В(2;–6;–1);	С(1;–4;4);	D(1;–7;2).
	А(–3;–4;2);	В(–2;–3;–4);	С(1;–1;1);	D(1;–7;4).
	А(5;–3;–4);	В(4;0;–3);	С(–4;–6;2);	D(3;–2;–1).
	А(1;0;1);	В(1;–3;–2);	С(0;–1;3);	D(0;–4;1).
	А(1;0;1);	В(–2;1;–5);	С(3;0;–3);	D(1;0;–6).
	А(1;–4;–3);	В(–5;–3;–2);	С(0;0;0);	D(3;0;–6).
	А(–5;4;–2);	В(–4;3;1);	С(1;–5;–5);	D(–2;2;–1).
	А(0;2;–1);	В(–3;2;–4);	С(2;1;–2);	D(0;1;–5).
	А(0;–3;–2);	В(–6;–2;–1);	С(–1;1;1);	D(2;1;–5).
	А(–6;5;–1);	В(–5;4;2);	С(0;–4;–4);	D(–3;3;0).
	А(2;2;–3);	В(–1;2;–6);	С(4;1;–4);	D(2;1;–7).
	А(2;–3;–4);	В(–4;–2;–3);	С(1;1;–1);	D(4;1;–7).
	А(–4;5;–3);	В(–3;4;0);	С(2;–4;–6);	D(–1;3;–2).
	А(1;1;0);	В(–2;1;–3);	С(3;0;–1);	D(1;0;–4).

Задание 14.

Методом сечений определить вид поверхности. Сделать чертеж.

В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я 14

1. x² – 4y² + 4z² = 16. 2. 4x² – 12y + 3z² = 0.

3. x² + 2y² + 3z² = 18. 4. 4x² – y² – z² = 4.

5. 16x² + 9y² – 4z² = 0. 6. 3x² + 4y² – 12z = 0.

7. 5x² + 5y² – 4z² = 20. 8. 9x² – y² – z² = 9.

9. x² + 4y² + 2z² = 4. 10. 9x² – 4y² + 9z² = 0.

11. x² – 16y² – z² = 16. 12. 4x² + 3y² – 6z² = 0.

13. 4x² + 3y² + 4z² = 12. 14.–9x² + 9y² + 4z² = 0.

15. x² – y² – 2z = 0. 16. x² + y² = 4.

17. x² + y² – 8z = 0. 18. 4x² – 4z² = 16.

19. 16x² + y² – z² = 16. 20. y² - 4z = 0.

21. 4x² – y² = 0. 22. –x² + 16y² – z² = 16.

23. 4y² – z² = 8x. 24. 2z² – 5 = 0.

25. 9x² – 4y² = 36. 26. 4x² – 4y² + z² = 16.

27. 4x² + 3y² – 12z = 0. 28. –x² – 16y² + z² = 16.

29. x² + z² = 9. 30. x² – 4y² = 0.

Задание 15.

Выделением полных квадратов и переносом начала координат привести уравнение поверхности к канонической форме и определить ее вид.

В А Р И А Н Т Ы З А Д А Н И Я 15

1. x² + y² + z² – 4x + 8y – 6z + 20 = 0.

2. 4x² + y² – 8z² + 8x – 4y + 16z – 32 = 0.

3. 9x²– 4y² – 36z² –18x–16y–216z – 367=0.

4. 3x² + y² + 2z² – 12x – 6y + 4z – 13 = 0.

5. 2x² – 3z² + 4x + 2y + 6z + 1 = 0.

6. x² + 4y² – 9z² – 2x – 16y – 18z + 45 = 0.

7. 2x² + 3y² + 12x – 12y – 18z + 30 = 0.

8. y² – 8x – 2y +4 = 0.

9. 4x² – 6y² + 9z² + 24x + 12y +36z+30 = 0.

10. 3x² + 2y² + 4z² + 18x – 4y – 16z +33 = 0.

11. 2x² + 3y² – 4x + 6y – 12z + 14 = 0.

12. 8x² – 6y² – 3z² + 16x – 12y + 18z–49 = 0.

13. 20x²+15y²–12z²–120x+30y+72z+87 = 0.

14. 4x² + 6y² + 9z² + 24x – 12y –36z+42 = 0.

15. 3x² + 4y² – 6x – 56y + 187 = 0.

16. x² + y² + z² + 6x – 2y – 4z – 2 = 0.

17. 3y² – 4z² – 6y + 56z – 205 = 0.

18. 2y² – 3z² – 12x – 4y – 6z – 10 = 0.

19. 2x² – 3y² – 4x – 6y – 12z – 10 = 0.

20. 4x² + 6y² – 9z² + 8x – 12y + 54z – 107 = 0.

21. 3x² – 4y² – 6x + 56y – 205 = 0.

22. 8x² – 6y² + 3z² + 16x + 12y – 18z + 5 = 0.

23. 20x²–15y²+12z²–120x–30y–72z+273=0.

24. –4x²– 6y² + 9z² – 8x + 12y–54z + 35 = 0.

25. 2y² + 3z² – 12x – 4y + 6z + 14 = 0.

26. x² + y² + z² + 8x – 4y – 6z + 20 = 0.

27. x² – 9y² + 4z² – 2x – 18y – 16z + 45 = 0.

28. 3y² + 2z² – 12x + 6y – 4z + 14 = 0.

29. x² + y² + z² + 6x – 4y – 2z – 2 = 0.

30. 3x² – 4z² – 6x + 56z – 205 = 0.