10.2. Барометрическая формула

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено силой тяжести вышележащих слоев газа. Допустим, что на высоте h давление будет p. Тогда давление на высоте h + dh будет p + dp, причем если dh больше нуля, то dp < 0, так как давление с высотой убывает. Разность давлений равна давлению силы тяжести газа dmg, заключенного в объеме цилиндра с площадью основания S и высотой dh, т. е.

  , (10.2.1)

где  − плотность газа на высоте h.

В условиях, близких к нормальным, воздух мало чем отличается по своему поведению от идеального газа. Поэтому, применив уравнение Менделеева − Клапейрона для произвольной массы газа, выразим его плотность

  . (10.2.2)

Подставим выражение (10.2.2) в (10.2.1) и получим

или . (10.2.3)

Предположим, что температура воздуха не зависит от высоты (изотермическая атмосфера) и на высоте h = 0 давление равно p₀ . Тогда проинтегрировав выражение (10.2.3) получим

 . (10.2.4)

Потенцируя выражение (10.2.4) получим выражение

, (10.2.5)

которое назвают барометрической формулой.

Полученная барометрическая формула дает зависимость давления от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотермической атмосферы.

Если учесть, что

, (10.2.6)

где m₀ − масса одной молекулы, k − постоянная Больцмана.

Тогда

. (10.2.7)

10.3. Распределение молекул идеального газа во внешнем силовом поле

Учитывая, что p = nkT, а следовательно p₀ = n₀ kT, от формулы (10.2.7) придем к формуле для концентраций частиц

. (10.3.1)

Так как молекулы воздуха находятся в поле тяготения Земли, то на разной высоте молекулы обладают различным запасом потенциальной энергии П = m₀ gh. Следовательно, распределение молекул по высоте является и распределением молекул по значениям потенциальной энергии

, (10.3.2)

где n₀ − концентрация молекул в том месте, где потенциальная энергия молекул равна нулю.

Больцман доказал, что распределение (10.3.2) справедливо не только в случае поля тяготения Земли, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим выражение (10.3.2) получило название распределение Больцмана.

Например, для частиц находящихся в поле центробежных сил (где r − расстояние от оси вращения до частицы). Тогда выражение (10.3.2) примет вид

. (10.3.3)

Для частиц, взвешенных в жидкости (частицы суспензии или эмульсии), в выражении для потенциальной энергии необходимо учитывать действие силы Архимеда. Поэтому потенциальная энергия таких частиц будет иметь вид:

в поле силы тяжести

, (10.3.4)

в поле центробежных сил

, (10.3.5)

где m_ж − масса жидкости, вытесненной частицей массой m₀ ; ₀ − плотность вещества частиц; _ж − плотность жидкости; V − объем частицы.

Распределение Больцмана для частиц суспензии или эмульсии будет иметь вид:

поле силы тяжести

. (10.3.6)

в поле центробежных сил

. (10.3.7)

Для идеального газа в любом внешнем потенциальном поле распределение молекул будет подчиняться распределению Больцманом. В общем случае функция распределения Больцмана будет иметь вид

, (10.3.8)

где П(х, у, z) − потенциальная энергия молекулы в точке с координатами х, у, z; A − нормировочная постоянная.

Общее распределение молекул идеального газа во внешнем поле по их значениям проекций скоростей и координат х, у, z имеет вид

, (10.3.9)

− функция распределения Максвелла − Больцмана,

где − полная энергия молекулы; В − нормировочная постоянная.