9.1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой:

1) собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда, в котором находятся молекулы;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими;

4) время столкновения молекул друг с другом пренебрежимо мало по сравнению со временем свободного пробега молекул.

Рассмотрим экспериментальные законы, описывающие поведение идеального газа:

1) закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

pV = const. (9.1.1)

Процесс, протекающий при постоянной температуре, называется изотермическим. Кривая, изображающая зависимость между параметрами p и V, характеризующими состояние газа при постоянной температуре называется изотермой (рис. 9.1.1).

2) закон Гей − Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой.

V = V₀ (1 + t) или , (9.1.2)

где V₀ − объем при 0°С; t − температура по шкале Цельсия;  − коэффициент, равный  = = К⁻¹.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим. На диаграмме в координатах V, Т этот процесс изображается прямой линией, называемой изобарой (рис. 9.1.2).

3) закон Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой.

p = p₀ (1 + t) или , (9.1.3)

где p₀ − давление при 0°С; t − температура по шкале Цельсия;

 − коэффициент, равный  = К⁻¹.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изохорическим. На диаграмме в координатах p, Т этом процессе изображается прямой линией, называемой изохорой (рис. 9.1.3).

4) закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях этот объем равен 22,41 · 10⁻³ м³/моль. В одном моле различных веществ содержится одно и тоже число молекул, равное постоянной Авогадро: N_A = 6,02 · 10²³ моль⁻¹.

5) закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов

p = p₁ + p₂ + … + p_n . (9.1.4)

Парциальное давление − давление, которое оказывал бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением, объемом и температурой, между которыми существует связь, называемая уравнением состояния f (p, V, T) = 0, где каждая из переменных является функцией двух других. Французский физик и инженер Клапейрон, объединив законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей − Люссака, вывел уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона): для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.

. (9.1.5)

Менделеев Д. И. объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение Клапейрона к одному молю газа и использовав молярный объем V_m. Согласно закону Авогадро, при одинаковых давлении и температуре, моли всех газов занимают одинаковый молярный объем, поэтому газовая постоянная будет одинаковой для всех газов. Эту общую для всех газов постоянную обозначили R = = 8,31 Дж/(кг · К) и назвали универсальной газовой постоянной. Таким образом, уравнение Клапейрона приобрело вид

 . (9.1.6)

Выражение (9.1.6) называют уравнением состояния идеального газа или уравнение Менделеева − Клапейрона.

От уравнения состояния идеального газа можно перейти к уравнению для произвольной массы газа. Молярный объем равен

V_m = V/, (9.1.7)

где − количество вещества; m − масса газа; М − молярная масса газа.

Молярной массой называется масса 1 моля вещества, и она равна

M = N_A m₀ , (9.1.8)

где m₀ − массы одной молекулы.

Таким образом, получаем

  . (9.1.9)

Пользуются также другой формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана k = R/N_A = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К:

pV = RT  pV = N_A kT  pV = NkT 

  p = nkT, (9.1.10)

где n = N/V − концентрации молекул газа.

Теперь рассмотрим идеальный газ и определим давление газа на основе молекулярно-кинетической теории. Представим себе, что молекулы содержатся в прямоугольном сосуде, грани которого имеют площадь S, а длина его ребер равна l. Согласно этой модели, давление газа на стенки сосуда обусловлено столкновениями молекул с ними. Рассмотрим стенку площадью S с левой стороны сосуда и выясним, что происходит, когда одна молекула ударяется об нее. Эта молекула действует на стенку, а стенка в свою очередь действует на молекулу с равной по величине и противоположной по направлению силой. Величина этой силы, согласно второму закону Ньютона, равна скорости изменения импульса молекулы, т. е.

. (9.1.11)

Так как столкновение является абсолютно упругим, то изменяется лишь составляющая импульса молекулы по оси Ox, т. е. от −m₀_x до +m₀_x . Таким образом, изменение импульса для одного столкновения равно

p = m₀ _x − (−m₀ _x) = 2m₀ _x . (9.1.12)

Эта молекула будет много раз сталкиваться со стенкой, причем столкновения будут происходить через промежуток времени, который требуется молекуле для того, чтобы пересечь сосуд и вернуться обратно, т. е. пройти расстояние 2l. Тогда 2l = _x t, откуда

t = 2l/_x . (9.1.13)

При этом средняя сила равна

. (9.1.14)

Во время движения по сосуду туда и обратно молекула может сталкиваться с верхними и боковыми стенками сосуда, однако проекция ее импульса на ось Ox при этом остается без изменения (т. к. удар абсолютно упругий). Чтобы вычислить силу, действующую со стороны всех молекул в сосуде, просуммируем вклады каждой из них.

. (9.1.15)

Среднее значение квадрата _x равно , следовательно

. (9.1.16)

Для любой скорости выполняется соотношение , или . Так как молекулы движутся хаотически, то все направления движения равноправные и . Значит

 . (9.1.17)

 . (9.1.18)

Давление на стенку сосуда примет вид

 , (9.1.19)

где N/V = n − концентрации молекул газа. Выражение (9.1.19) является основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Его можно представить в следующем виде

 , (9.1.20)

где − среднее значение кинетической энергии поступательного движения одной молекулы.

Сравнивая выражение (9.1.20) с уравнением (9.1.10), получаем что

, (9.1.21)

т. е. абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.