8.7. Соотношение неопределенностей

Открытие корпускулярно-волнового дуализма стало важным шагом для понимания того, что присущее классической физике противопоставление частиц и волн не имеет места для объектов микромира. Электроны, фотоны, нейтроны и другие микрочастицы в одних случаях ведут себя как частицы, в других проявляют свои волновые свойства. Это значит, что объекты микромира не являются ни классическими частицами, ни классическими волнами и для изучения их свойств не применимы ни классические методы описания частиц, ни классические методы описания волн. В этом случае состояние микрочастиц описывается волновой функцией  (волнами материи).

Рассмотрим состояния свободной микрочастицы, описываемой волной де Бройля (8.6.1), запишем волновую функция для частицы и комплексно сопряженную ее волновую функцию

, . (8.7.1)

Найдем плотность вероятности обнаружения микрочастицы на оси Ох:

. (8.7.2)

Таким образом, свободная микрочастица с импульсом р и энергией Е с одинаковой плотностью вероятности может быть обнаружена в любой точке оси Ох.

Из выражения (8.7.2) следует, если вектор импульса постоянен (свободная частица), то ее квантово-механическое состояние описывается плоской волной де Бройля (8.6.1), которая приводит к однородному распределению плотности вероятности. Поскольку плотность вероятности обнаружить такую квантовую частицу в каждой точке бесконечного пространства одинакова, мы фактически ничего не можем сказать о ее координате х в любой заданный момент времени t, т. е. при фиксированном значении импульса координатах частицы не определена. Это один из примеров «парадоксов квантовой механики» (в классической механике Ньютона каждому значению координаты х соответствует определенное значение импульса движущейся частицы).

Таким образом, частица не имеет определенных значений координаты, импульса, энергии. Можно лишь в общем случае утверждать, что значения x, y, z, p, E лежат в пределах соответствующих интервалах координат (х, у, z), импульса (р_х , р_у , р_z) и энергии (Е), которые связаны соотношениями неопределенностей Гейзенберга:

(8.7.3)

В соответствии с формулами (8.7.3) принцип Гейзенберга гласит: любая квантовая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции (для частицы − координаты частицы) и импульс одновременно принимают вполне определенные значения.

Это значит, что для квантовой частицы нельзя одновременно указать точные значения координат и проекций импульса. В квантовой механике теряет смысл понятие траектории движения частицы, так как если мы точно определим значения координат, то ничего не сможем сказать о направлении ее движения (т. е. импульсе), и наоборот.

8.8. Уровни энергии и волновая функция частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме

Уравнения (8.4.1) и (8.4.6) являются сложными дифференциальными уравнениями в частных производных. Известны аналитические решения только для очень простых зависимостей потенциальной энергии.

Рассмотрим следующую задачу: частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (рис. 8.8.1). Потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками называется область пространства, в которой потенциальная энергия определена соотношениями

. (8.8.1)

В одномерном случае U = U(x),  = (x), , поэтому стационарное уравнение Шредингера (8.4.6) примет вид

. (8.8.2)

Поскольку потенциальная энергия U за границами ямы бесконечно велика, то вероятность нахождения частицы за пределами ямы равна нулю. Тогда значения функции  на границах ямы (в точках с координатами х = 0 = L) должны быть равны нулю, т. е. получаем граничные условия для собственной волновой функции (х):

(0) = 0, (L) = 0. (8.8.3)

Так как внутри ямы U = 0, то уравнение (8.8.2) примет вид

. (8.8.4)

Обозначим

, (8.8.5)

с учетом этого получает дифференциальное уравнение вида

. (8.8.6)

Общее решение дифференциального уравнения (8.8.6) имеет вид

(x) = A sin kx + B cos kx. (8.8.7)

Подставим в формулу (8.8.7) первое граничное условие из (8.8.3)

(x) = A sin 0 + B cos 0 = 0  B = 0. (8.8.8)

С учетом второго граничного условия из (8.8.3) решение уравнения (8.8.8) будет иметь вид

(x) = A sin kx. (8.8.9)

Подставим второе граничное условие (8.8.3) в выражение (8.8.9)

(L) = A sin kL = 0. (8.8.10)

Выполнения условия (8.8.10), возможно лишь в случае, если

kL = n, где n = 1, 2, 3, 4, … . (8.8.11)

Значение n = 0 отпадает, поскольку при этом получается  = 0 − частица нигде не находится.

Подставим в выражение (8.8.11) выражение (8.8.5)

 , где n = 1, 2, 3, 4, … . (8.8.12)

Из выражения (8.8.12) видно, что спектр собственных энергий частицы в рассматриваемой потенциальной яме является дискретным. Этот результат согласуется с гипотезой Планка о квантовании энергии и является характерным свойством уравнения Шредингера. Также следует отметить то факт, что энергия микрочастицы в состоянии с наименьшим значением п = 1 (в основном состоянии) не равна нулю.

Число n, определяющее допустимые значения энергий микрочастицы, называется главным квантовым числом. Квантовое стационарное состояние с заданным значением n имеет фиксированное значение энергии Е_n (Е_n = const). Состояние с фиксированной энергией соответствует в классическом случае движению частицы некоторой орбите, параметры которой удовлетворяют закону сохранения энергии (К + П = const).

Из выражения (8.8.11) следует, что волновое число

, где n = 1, 2, 3, 4, … . (8.8.13)

Так как волновое число k связано с длиной волны де Бройля _Бр соотношением

, где n = 1, 2, 3, 4, … , (8.8.14)

то соответствующие длины волн де Бройля должны удовлетворять условию, при котором

 , где n = 1, 2, 3, 4, … , (8.8.15)

т. е. на ширине L потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля, (или целое число стоячих волн де Бройля).

Найдем выражение для волновой функции частицы, находящейся в бесконечной потенциальной яме. Подставим выражение (8.8.14) в выражение (8.8.9)

. (8.8.16)

Для нахождения значения А воспользуемся условием нормировки волновой функции (8.3.7)

  

 

  . (8.8.17)

Подставим (8.8.17) в выражение (8.8.16) и получим

. (8.8.18)

Полное выражение для волновой функции будет иметь вид

. (8.8.19)

Квадрат модуля волновой функции, который является плотностью вероятности нахождения частицы заданной точке пространства, равен

. (8.8.20)

Построим для четырех первых квантовых состояний (n = = 1, 2, 3, 4) уровни спектра энергий (рис. 8.8.2, а), волновые функции (рис. 8.8.2, б) и плотность вероятности нахождения частицы заданной точке (рис. 8.8.2, в).

Основы молекулярной физики

и термодинамики

9. Молекулярно-кинетическая теория газов

Лекция № 15

9.1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

9.2. Внутренние степени свободы молекул.

9.3. Закон распределения энергии молекулы по степеням свободы.

9.4. Внутренняя энергия идеального газа.

Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений о природе материальных тел. Согласно этим представлениям, что любое тело состоит из большого количества весьма малых обособленных частиц − молекул, атомов, ионов. Эти частицы находятся в беспорядочном, хаотическом, не имеющем преимущественного направления движении (т. е. все направления движения частиц равноправны). Также учитывается, что все частицы взаимодействуют между собой.

Для исследования макроскопических процессов в телах, связанных с огромным числом содержащихся в них атомов и молекул применяются два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: молекулярно-кинетический (статистический) и термодинамический. Первый лежит в основе статистической физики, а второй − термодинамики.

Молекулярно-кинетическая теория ставит своей целью объяснить свойства тел, непосредственно наблюдаемые на опыте, как суммарный эффект действия большого числа взаимодействующих частиц. Законы поведения огромного числа частиц изучают с помощью статистического метода. При этом методе интересуются не движением отдельных частиц, а поведением таких физических величин, средние значения которых характеризуют движение огромной совокупности частиц.