8.4. Уравнение Шредингера

Построение квантовой механики невозможно без уравнения, которое позволило бы по заданным внешним силовым полям и начальным условиям описывать движение частицы в пространстве и во времени. Состояние квантовой частицы определяется плотностью вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке с координатами х, у, z. Плотность вероятности задается квадратом модуля волновой функции |(х, у, z, t)|². Поэтому искомое уравнение должно быть уравнением относительно волновой функцией (х, у, z, t). Также это уравнение должно обладать некоторыми чертами, присущими волновому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц. Эту задачу решил Шредингер, который написал в 1926 г. уравнение, решая которое можно находить волновую функцию:

, (8.4.1)

где − мнимая единица; m − масса частицы; − оператор Лапласа; U(x, у, z, t) − потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.

. (8.4.2)

Выражение (8.4.1) называют временным уравнением Шредингера. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Как и уравнение для второго закона Ньютона, не выводится, а постулируется. Критерием его справедливости является хорошее согласие результатов, полученных на основе формулы (8.4.1), с экспериментальными данными в атомной и ядерной физике.

В тех случаях, когда частица находится в стационарных потенциальных силовых полях (потенциальная энергия U не зависит от времени), то решение уравнения (8.4.1) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая только от времени

, (8.4.3)

где Е − полная энергия частицы, которая в случае стационарности поля остается неизменной.

Подставим функцию (8.4.3) во временное уравнение Шредингера (8.4.1)

. (8.4.4)

Сократив выражение (8.4.4) на величину получим

. (8.4.5)

Преобразуем выражение (10.4.5)

. (8.4.6)

Выражение (8.4.6) называется стационарным уравнением Шредингера.

Функции (х, у, z), являющиеся решениями уравнения (8.4.6), называются собственными функциями. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (8.4.6) в ряде случаев имеют решения не при всех значениях энергии Е, а лишь при определенных ее значениях. Значения энергии Е, при которых имеет место решение уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии. Собственные значения энергии Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд значений энергии. В первом случае говорят о непрерывном, во втором − о дискретном спектре энергии.

Лекция № 14

8.6. Волновая функция свободной частицы.

8.7. Соотношение неопределенностей.

8.8. Уровни энергии и волновая функция частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме.

8.6. Волновая функция свободной частицы

Рассмотрим волновую функцию свободной микрочастицы, которая имеет определенные значения импульса р и энергии Е, т. е. движется со скоростью , например, вдоль оси Ох (р_у = р_z = 0). Так как из опытов следует, что параллельный пучок элементарных частиц обладает свойствами плоской волны распространяющейся в направлении скорости частиц, то рассмотрим в общем виде плоскую волну распространяющуюся вдоль Ох. Запишем волновую функцию свободной частицы в комплексном виде по аналогии с уравнением плоской волны

. (8.6.1)

Преобразуем выражение (8.6.1), используя формулы взаимосвязи импульса р и энергии Е частицы (корпускулярных характеристик) с волновым числом k и циклической частотой  (с волновыми характеристиками частицы)

 , (8.6.2)

. (8.6.3)

Подставим (8.6.2−8.6.3) в уравнение (8.6.1) и получим

, (8.6.4)

где − постоянная Планка.

Представим уравнение (8.6.4) в виде

, (8.6.5)

где − амплитудная часть волновой функции, зависящая только от координаты.

Применим к  оператор Лапласа

, (8.6.6)

и получим уравнение Шредингера для свободной частицы

. (8.6.7)

Обобщим это уравнение для несвободной частицы, заменив кинетическую энергию К на разность между полной энергией Е и потенциальной энергией U:

, (8.6.8)

где U − потенциальная энергия частицы в стационарных потенциальных силовых полях.

Уравнение (8.6.8) является стационарным уравнением Шредингера. Изложенные выше рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Однако они показывают, на примере свободной частицы, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.