12.4. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Определим уравнение, связывающее параметры идеального газа при адиабатическом процессе. Так как по условию Q = 0, то первое начало термодинамики можно записать в следующем виде

0 = А + dU  A = −dU. (12.4.1)

Работа газа при адиабатическом процессе происходит за счет убыли внутренней энергии.

Учитывая, что , а A = pdV, получим

. (12.4.2)

Выразим давление из уравнения Менделеева − Клапейрона и подставим в (12.4.1)

 . (12.4.3)

Приведем полученное выражение (12.4.3) к виду

. (12.4.4)

Проинтегрируем выражение (12.4.4) в пределах от Т₁ до T₂ , и от V₁ до V₂:

 . (12.4.5)

 , (12.4.6)

где  − адиабатическая постоянная.

Выражение (12.4.5) можно переписать в виде

 

 (12.4.7)

или

TV ^−1 = const. (12.4.8)

Перейдем от этого уравнения к уравнению в переменных p, V. Для этого выразим из уравнения Менделеева − Клапейрона температуру: и подставим в уравнение (12.4.8)

 . (12.4.9)

Учитывая, что  и R − постоянные величины, получим

pV ^ = const. (12.4.10)

Выражение (12.4.10) получило название уравнение Пуассона.

Теперь перейдем к уравнению в переменных p, T. Из уравнения Менделеева − Клапейрона выразим объем . Тогда подставив в уравнение (12.4.10) получим:

. (12.4.11)

Так как  и R − постоянные, получим

или . (12.4.12)

Определим работу, совершаемую газом при адиабатическом процессе. Так как при адиабатическом процессе A = −dU, и учитывая, что , получим

. (12.4.13)

Проинтегрировав полученное выражение от T₁ до T₂ , получим:

. (12.4.14)

Формулу (12.4.14) можно преобразовать следующим образом , а .

Отсюда

. (12.4.15)

Подставим (12.4.15) в выражение (12.4.14), и получим

или , (12.4.16)

учитывая, что RT₁ = p₁ V₁ .

12.5. Политропические процессы

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы происходят при постоянной теплоемкости. Процесс, при котором теплоемкость тела остается постоянной называется политропическим. Таким образом, условие, которое выполняется в ходе политропического процесса, заключается в том, что

C = const. (12.5.1)

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Для этого запишем уравнение первого начала термодинамики для идеального газа в виде

. (12.5.2)

В полученное уравнение входят все три параметра: p, V и T. Исключим параметр Т, и получим уравнение политропы в переменных p, V. Для этого продифференцируем соотношение pV = RT:

d(pV) = RdT  pdV + Vdp = RdT. (12.5.3)

Выразим из уравнения (12.5.3) dT и подставим в уравнение (12.5.2)

. (12.5.4)

. (12.5.5)

Заменив в данном уравнении через и разделив на pV, придем к дифференциальному уравнению вида:

. (12.5.6)

Интегрирование уравнения (12.5.6) приводит к соотношению

. (12.5.7)

Разделив данное соотношение на (что возможно, если ), получаем

 , (12.5.8)

где − показатель политропы.

Произведя потенцирование, получим

pVⁿ = const − уравнение политропы. (12.5.9)

При из (12.5.7) получим

()ln V = const  V = const. (12.5.10)

Откуда следует, что это изохорический процесс. При этом процессе показатель политропы n  .

Для изобарического процесса n = 0, для изотермического n = 1, для адиабатического n = .

Определим работу, которая совершается при политропическом процессе. Выразим давление через объем, применив уравнение политропы (12.5.9):

, (12.5.11)

где p₁ , V₁ и p₂ , V₂ − значения давления и объема газа соответственно в начальном и конечном состояниях; p и V − давление и объем в любом промежуточном состоянии.

Отсюда . Тогда работа равна

. (12.5.12)

Для случая, когда n  1, интеграл (12.5.12) равен

, (12.5.13)

или учитывая, что , получим

. (12.5.14)