4. Математические модели

Наиболее важным этапом при построении модели является переход от содержательного описания к формальному, что объясняется участием на этом этапе специалистов двух специальностей: специалистов в предметной области, где существует моделируемая система и специалистов в области моделирования систем. Наиболее удобным языком для их общения, целью которого является построение адекватной модели системы, обычно, является язык математических описаний. Математическое описание системы компактно и удобно для дальнейших реализаций на компьютере, с целью проведения статистических испытаний, поэтому рассмотрим эти модели в первую очередь.

1. Построение математической модели системы

Систему S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих следующие подмножества:

подмножество входных воздействий:

(или вектор входящих воздействий );

подмножество воздействий внешней среды:

(или вектор воздействия внешней среды );

подмножество собственных параметров системы:

(или вектор внутренних параметров );

подмножество выходных характеристик системы:

(или вектор выходных характеристик ).

Подмножества X, V и H являются независимыми (экзогенными), Y является зависимым (эндогенным) подмножеством. Процесс функционирования системы описывается во времени оператором , который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением

. (*)

Эта зависимость называется законом функционирования системы S. Закон функционирования может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, алгоритмически или таблично, а так же в виде словесного набора правил соответствия. Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени называется выходной траекторией . Соотношение (*) является математическим описанием поведением системы во времени, поэтому модели такого типа называются динамическими моделями.

Если закон функционирования не содержит параметра времени, то такие модели называются статическими и отображают связь между подмножеством и подмножествами и записывается как

.

Если в динамической модели дискретизировать время, то в каждый момент времени можно определить состояние системы . Множество всех возможных состояний системы называется пространством состояний системы. Процесс функционирования системы, изменяющей своё состояние в фиксированные моменты времени, можно описать векторными уравнениями

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным определяет следующее состояние, а второе по значению состояния определяет эндогенные переменные на выходе системы.

2. Примеры построения динамических моделей

При моделировании непрерывных динамических объектов в качестве моделей обычно выступают дифференциальные уравнения, связывающее поведение объекта со временем. Положительным свойством дифференциальных уравнений является то, что одно и то же уравнение моделирует системы различной физической природы.

В качестве независимой переменной в динамических системах обычно выступает время, от которого зависят неизвестные значения искомой функции, определяющие поведения объекта. Математическое описание модели в общем виде

,

где – n-мерные векторы и– непрерывна.

Например, процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением .

Процесс в электрическом колебательном контуре .

Очевидно, что если положить , получим уравнение, описывающее состояние во времени обеих систем .

Общая математическая модель позволяет исследовать одну систему, моделируя работу другой.

Рассмотрим пример построения дифференциальной модели объекта.

Имеется сосуд, площадь горизонтального сечения которого является функцией расстояния сечения от дна сосуда. В начальный момент времени t=0 высота уровня жидкости равна h метров. Площадь сечения сосуда на высоте x равна S(x). В дне сосуда имеется отверстие площадью s. Определить зависимость уровня воды в сосуде от времени x(t).

Из физики известно, что скорость истечения жидкости v в тот момент, когда высота её уровня равна x, определяется равенством , где k – коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия. На бесконечно малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а поэтому за время dt вытечет столбик жидкости, высота которого v dt и площадь сечения s, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на –dx. Приравнивая объём жидкости, вытекшей из отверстия и из сосуда, получим

.

Полученное дифференциальное уравнение даёт зависимость уровня воды в сосуде от времени x(t). Решим теперь конкретную задачу, выбрав сосуд с известным S(x). Пусть имеется цилиндрический сосуд радиусом R с круглым отверстием в дне радиусом r, наполненный водой.

Площадь поперечного сечения сосуда постоянна и не зависит от x: S(x)=R² , площадь отверстия в дне s=r². Для воды коэффициент k=0,6. Подставив эти значения в уравнение, получим

, .

Это уравнение может быть решено аналитически или одним из численных методов.

Ш ирокое применение модели динамических систем на основе дифференциальных уравнений нашли в теории управления различными техническими объектами. Под влиянием неизвестных заранее возмущений фактическое поведение системы отклоняется от желаемого, задаваемого алгоритмом и для приближения её поведения к необходимому значению, в состав системы вводится автоматическое управление системой. Оно может быть встроено в саму систему, но при моделировании блок управления отделяется от самой системы. В общем виде, структура многомерной системы автоматического управления (САУ) представлена на рисунке 5.3.

Рис.5.3. Структура многомерной системы автоматического управления

Эндогенные переменные: – вектора входных и возмущающих воздействий, а так же – вектора ошибок и управляющих воздействий, соответственно. Экзогенные переменные: – вектор состояния системы, который обычно совпадает с вектором выходных переменных, т.е. . (Более подробно о моделировании САУ можно найти в книге «Теория автоматического управления»: Учеб. для машиностроит. спец. вузов/ Под редакцией Ю.М. Соломенцева.–М.:Высш.шк., 1999–268 с.)