Примеры решения типовых задач

Пример 1. Доказать .

Решение: Рассмотрим величину:

.

Пусть – произвольное число, выберем ; тогда если , то , следовательно, .

Таким образом, по определению, .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Используя свойства предлов функций, получим:

.

Пример 3. Вычислить .

Решение.

.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить множитель, равный нулю при предельном значении , и сократить на него.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Подставляя предельное значение в числитель и знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль. Имеем неопределенность вида . Стоящие в числителе и знаменателе многочлены можно разложить на множители. Следует помнить, что если , – корни квадратного трехчлена , то справедлива формула

.

Таким образом, имеем:

.

Пример 5. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Так как является корнем многочленов из числителя и знаменателя, то выделяется как сомножитель в числителе и знаменателе.

.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от нее (например, умножить на сопряженное выражение или ввести новую переменную).

Пример 6. Вычислить .

Решение. Подставляя предельное значение в числитель и знаменатель, получаем неопределенность вида . Знаменатель представляет собой «сумму кубов», поэтому при разложении его на множители получаем: . После умножения числителя и знаменателя на сопряженное числителю выражение , имеем:

.

Пример 7. Вычислить

Решение. Имеет место неопределенность вида . Произведем замену Тогда при имеем

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую степень , а затем перейти к пределу.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскрыть исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числителе и знаменателе дроби и сократить на наибольшую степень.

.

Пример 9. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 8.

.

Пример 10. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 8.

.

Пример 11. Вычислить

Решение. Имеем неопределенность вида . Избавимся от нее следующим образом: разделим числитель и знаменатель на степень с наивысшим основанием, т.е. на . Затем воспользуемся равенством если

Пример 12. Вычислить .

Решение. Очевидно, что при и . Поэтому имеем неопределенность вида . Далее получаем:

.

Неопределенности вида возникают, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в этом случае рекомендуется приводить дроби к общему знаменателю), либо при рассмотрении разности иррациональных выражений (для избавления от иррациональностей следует преобразовать исходное выражение либо к разности квадратов, либо к сумме или разности кубов).

Пример 13. Вычислить .

Решение. В данном случае имеем неопределенность . Приведем дроби к общему знаменателю:

.

Пример 14. Вычислить .

Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для таким «сопряженным» является . Таким образом, получаем:

.

Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера 12. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:

.

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, полезно использовать «первый замечательный предел» .

Пример 15. Вычислить .

Решение. Очевидно, что при , и . Чтобы применить первый замечательный предел, необходимо получить в знаменателе выражение, совпадающие с аргументом синуса. Для этого числитель и знаменатель умножаем на число 4:

.

Пример 16. Вычислить .

Решение. Знаменатель разложим на множители как разность квадратов, а в числителе воспользуемся формулой :

.

Пример 17. Вычислить .

Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , можно воспользоваться формулой :

В примерах с неопределенностью выражение, стоящее под знаком предела представляет собой показательно–степенную функцию. Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела» .

Пример 18. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом:

.

Пример 19. Найти предел функции .

Решение. Имеем неопределенность вида , преобразуем ее к неопределенности вида . Пользуясь свойствами логарифмов: и , получим:

.

Далее

.

Пример 20. Найти предел функции .

Решение. В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется. Имеем , тогда .

Пример 21. Найти предел функции .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом :

.

Пример 22. Найти предел функции .

Решение. Выделим в числителе, выражение вида , а в знаменателе – . Затем воспользуемся следующим равенствами и :

.