1. Предел функции

   1. Предел функции в точке

Определение. Точка называется предельной точкой области определения , если в любой ее окрестности содержатся точки из области определения, отличные от нее самой.

Пусть точка является предельной точкой области определения, .

Определение. Число называется пределом функции в точке (или «при , стремящемся к »), если для любого числа существует число такое, что неравенство

выполняется для всех , для которых .

Комментарий к определению. Любую близость к можно достичь, приближая к . Сложность формулировки определения вызвана необходимостью точно указать смысл выражений «значения аргумента , близкие к » и «значения функции близки к ».

Обозначение: или .

Пример 1.Если , то ,

Пример 2.Если , то , , не существует

Пример 3. . , .

Запись определения предела с использованием символов математической логики выглядит так:

.

Определение предела можно переписать и в другом виде.

.

Это определение также можно записать в окрестностной форме.

.

Бесконечные пределы функций

Определение. Говорят, что предел функция равен при , если для любого найдется такое, что для из неравенства следует неравенство .

Обозначение: .

Определение. Говорят, что предел функция равен при , если для любого найдется такое, что из неравенств следует неравенство .

Обозначение: .

Замечание. Если , то используют обозначение .

2. Пределы функций на бесконечности

Определение. Число называют пределом функции при , если для любого будет существовать такое, что для из неравенства следует неравенство .

Обозначение:

Определение. Число называют пределом функции при , если для любого будет существовать такое, что из неравенства следует неравенство .

Обозначение: .

Замечание. Если , говорят, что имеет в точке конечный предел. В случае, когда , предел называется бесконечным.

Пример. Функция имеет предел при , а именно, при . Покажем это. Пусть – произвольно. Необходимо доказать существование числа такого, что при . Решая неравенство , получим . Следовательно, в качестве искомого числа можно взять .

3. Свойства функций, имеющих пределы

Теорема 1. (единственность предела). Если функция имеет предел (), то это предел единственный.

Теорема 2. (необходимое условие существования предела). Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .

Теорема 3. Если функция имеет конечный предел при равный и , то существует проколатая окрестнось точки такая, что для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство .

Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности имеет место неравенство . Тогда если существуют конечные пределы и , то .

Теорема 5. («о двух милиционерах») Пусть в некоторой окрестности для функций , , имеют место неравенства . Если существуют конечные пределы , то существует предел .

Теорема 6. (об арифметических операциях с пределами функций). Если функции и имеют конечные пределы при , то справедливы равенства

, ,

а если , то и равенство

.

Теорема 7. (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три условия:

1. существует конечный предел ;

2. существует конечный предел ;

3. существует такая проколотая окрестность , что для любого выполнено условие .

Тогда существует

Теорема 8. Если существуют конечные пределы и , то существует предел .