14. Системы счисления.

Система счисления - способ записи чисел и сопоставления этим записям значений этих чисел. Алфавитом системы счисления называется совокупность отличных друг от друга знаков (символов, цифр), которые используется для записи чисел в этой системе счисления. Синтаксисом системы счисления называется правила, позволяющие однозначно записывать числа, используя алфавит системы счисления. Системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные.

14.1. Непозиционные системы счисления.

В непозиционной системе значение каждого символа в числе не зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа (может быть зависимость от места символа по отношению к другому символу.). Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. Алфавит римской системы состоит из 7 знаков (символов, цифр):

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Левый символ может быть меньше правого максимум на один порядок:

• перед L(50) и C(100) из младших может стоять только X(10);

• перед D(500) и M(1000) может стоять только C(100);

• перед V(5) может стоять только I(1);

Значение числа равно:

1. Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых символов (группа первого вида).

2. Разности значений двух символов, если слева от большего символа стоит меньший символ (группа второго вида).

3. Сумме значений групп и цифр, не вошедших в пункты 1 и 2.

XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32 (две группы первого вида);

CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4=444 (три группы второго вида);

MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4=1974;

14.2. Позиционные системы счисления.

В позиционной системе значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа.

Основанием системы счисления называется количество различных знаков (символов, цифр), используемых в каждом разряде числа для его записи в данной системе счисления.

Наиболее употребительные системы счисления.

Основание	Система счисления	Знаки
2	Двоичная	0,1
8	Восьмеричная	0,1,2,3,4,5,6,7
10	Десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
16	Шестнадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Разрядом системы счисления называется номер позиции в записи числа.

Разрядностью (длиной) числа называется число разрядов в записи числа.

Часто приходится использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную). Поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.

14.3. Перевод чисел из десятичной системы в другую систему.

• Целая и дробная части переводятся порознь.

• Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В - остаток даст следующий разряд числа и т.д.

• Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

ПЕРЕВОД ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ.

Внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается наборам знаков (0 и 1). Переведем число 25,375₁₀ из десятичной системы в двоичную систему.

• Целая и дробная части переводятся порознь.

• Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием 2, необходимо разделить ее на 2. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на 2 - остаток даст следующий разряд числа и т.д.

Переводим 25₁₀ в двоичный код.

ДЕЛЕНИЕ	ЧАСТНОЕ	ОСТАТОК
25/2	12	1
12/2	6	0
6/2	3	0
3/2	1	1
1/2	0	1

Таким образом: 25₁₀=11001₂

• Для перевода дробной части ее необходимо умножить на 2. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной части) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на 2. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Переводим 0.375 ₁₀ в двоичный код.

УМНОЖЕНИЕ	ПРОИЗВЕДЕНИЕ	ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ
0,375*2	0,75	0
0,75*2	1,50	1
0,50*2	1,00	1

Таким образом: 0,375₁₀=0,011₂ Итак: 25,375₁₀=11001,011₂

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе.

+	0	1		*	0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

При двоичном сложении столбиком возникает перенос единицы в старший разряд (как в десятичной арифметике). 101,01₂+1,11₂=111,00₂;

Вычтем: 1100000011,011₂-101010111,1₂=110101011,111₂;

При умножении столбиком умножение на нуль не производится, а все оставшиеся справа нули, не участвующие в умножении, приписываются справа к результату умножения (как в десятичной арифметике). 10100₂*1010₂=11001000₂

ПЕРЕВОД ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ.

Внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается наборам знаков (0 и 1), но часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге (на экране дисплея) или вводимых с клавиатуры компьютера знаков удобно пользоваться восьмеричными числами.

Переведем число 58,32₁₀ из десятичной системы в восьмеричную систему.

• Целая и дробная части переводятся порознь.

• Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием 8, необходимо разделить ее на 8. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на 8 - остаток даст следующий разряд числа и т.д.

Представляем сначала 58₁₀ в восьмеричном коде:

ДЕЛЕНИЕ	ЧАСТНОЕ	ОСТАТОК
58/8	7	2
7/8	0	7

Таким образом: 58₁₀=72₈;

Представляем теперь 0,32₁₀ в восьмеричном коде:

• Для перевода дробной части ее необходимо умножить на 8. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на 8. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

УМНОЖЕНИЕ	ПРОИЗВЕДЕНИЕ	ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ
0,32*8	2,56	2
0,56*8	4,48	4
0,48*8	3,84	3

Таким образом: 0,32₁₀=0,243₈; Итак: 58,32₁₀=72,243₈

Таблица сложения в восьмеричной системе.

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Таблица умножения в восьмеричной системе.

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

223,2₈ +427,54₈=652,74₈;

1510,2₈-1230,54₈=257,44₈;

1170,64₈*46,3₈=57334,134₈;

ПЕРЕВОД ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ.

Внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается наборам знаков (0 и 1), но часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге (на экране дисплея) или вводимых с клавиатуры компьютера знаков удобно пользоваться шестнадцатеричными числами.

Переведем число 175834,65625₁₀ из десятичной системы в шестнадцатеричную систему.

• Целая и дробная части переводятся порознь.

• Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием 16, необходимо разделить ее на 16. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на 16 - остаток даст следующий разряд числа и т.д.

Представляем сначала 175834₁₀ в шестнадцатеричном коде:

ДЕЛЕНИЕ	ЧАСТНОЕ	ОСТАТОК
175834/16	10989	10(A)
10989/16	686	13(D)
686/16	42	14(E)
42/16	2	10(A)
2/16	0	2

Таким образом: 175834₁₀=2AEDA₁₆

Представляем теперь 0,65625₁₀ в шестнадцатеричном коде:

• Для перевода дробной части ее необходимо умножить на 16. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на 16. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

УМНОЖЕНИЕ	ПРОИЗВЕДЕНИЕ	ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ
0,65625*16	10,50000	10(A)
0,50000*16	8,00000	8

Таким образом: 0,65625₁₀=0,A8₁₆; Итак: 175834,6525₁₀=2AEDA,A8₁₆

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Таблица умножения в шестнадцатеричной системе.

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	54	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

F2A₁₆+E9₁₆=1013₁₆;

27D,D8₁₆-191,2₁₆=EC,B8₁₆; FFA,3₁₆*D,E₁₆=DDAF,5A₁₆;