Вивід рівняння коливань струни через обертальний рух

Як ми бачили вище, точний розрахунок коливань струни призводить до диференційного рівняння. Задача значно спрощується, якщо звести ко­ли­вання струни до обертального руху. Обертання можна роз­глядати як суму коливань з однаковою частотою у взаємоперпен­дику­лярних на­прям­ках. Таким чином, якщо знайти умови, за яких струна може обер­та­тися із да­ною частотою, то за цих же умов вона може й коливатись з тією ж частотою.

Отже, розглянемо за­кріп­лену з двох боків (точки О, О на рис. 3.8) стру­ну, що обертається з кутовою швид­кістю . Виділимо елемент стру­ни розташований між точками x та x+dx. На кінці цього елемента діє сила натягу Т, що не залежить від x і визначається силою, прикладеною до кінця струни. Проекції сили натягу струни на вісь у у точках x та x+dx дорівню­ють, як це вже було знайдено, відповідно (рис. 3.8)

Ми скористалися тим, що кут  << 1. Виконуючи тотожні перетворення, знаходимо, що різниця проекцій сили натягу дорівнює

.

(22)

(22) за виглядом співпадає з (11), але на відміну від (11), (22) є тотожністю, а не рівнянням).Проекція сили T є доцентровою силою, що призводить до обертання струни. З іншого боку, доцентрову силу можна записати у вигляді

,

(23)

де dl — довжина елементу струни,  — густина на одиницю довжини, і зва­же­но на те, що сила спрямована в бік негативних значень у. Приймаючи до уваги (22) та (23), отримуємо рівняння для обертання струни:

(24)

Легко впевнитись, що рівнянню (24) відповідає функція

y = y0 sinkx, .

(25)

Таким чином, струна, що обертається, має форму синусоїди. Відхилення y дорівнює нулю на кінцях струни. Звідки знайдемо, що kL= n, де L — дов­жи­на струни. Підставляючи це співвідношення в (25), отримуємо для цик­лічної частоти 

.

(26)

Для звичайної частоти f маємо

.

(27)

Зауважимо, що власні частоти (26) не залежать від пружніх власти­вос­тей струни. Цей дивний на перший погляд результат є наслідком при­пу­щен­ня про те, що сила натягу не змінюється під час коливань. В умовах нашого експерименту це припущення виконується.

Розвинута вище теорія описує рух ідеально гнучкої струни у вакуумі. За коливань реальної струни завжди виникає розсіяння енергії (за рахунок опору повітря, тертя в кілках, тощо). Розсіяння енергії призводить до виник­нення біжучої хвилі. Впливом біжучої хвилі можна знехтувати, якщо енер­ге­тичні втрати за період значно менші за запас коливальної енергії в системі.

Енергія хвилі пропорційна квадрату її амплітуди, тому умови засто­су­вання розвинутої теорії можна записати у вигляді нерівності

,

(28)

де а, y — амплітуди біжучої та стоячої хвилі, відповідно. Амплітуду біжучої хвилі визначають за розмиттям вузла, а амплітуду стоячої хвилі міряють в найближчій до цього вузла пучності.