Вивід рівняння коливань струни з застосуванням диференціальних рівнянь

Рис. 3.8

Розглянемо рис. 3.8. При­­пустимо, що струна, яку закріплено в точках О, О' ко­ливається в площині ху. Ви­ділимо елемент струни, роз­та­шований між точками x та x+dx. На кінці цього еле­мен­та діє сила натягу Т, що не залежить від x. Проекції сили натягу струни на вісь у у точках x та x+dx дорівнюють, відповідно, (рис. 3.8)

(Ми скористалися тим, що кут  << 1).

Сила, що призводить до руху елемента dx вздовж осі y, дорівнює різниці проекцій сили натягу на цю вісь. Отже, за другим законом Ньютона

,

(11)

де  — густина струни на одиницю довжини. Поділивши обидві частини (11) на dx, отримуємо за умови dx  0 так зване хвильове рівняння

(12)

де введено позначення c²  T/.

Хвильове рівняння (12) — це рівняння у часткових похідних. У за­гальному випадку його рішення у(x,t) складним чином залежить від x та t. Задача значно спрощується, якщо припустити, що

y = A(x)B(t).

(13)

Саме таке припущення має чинність у стоячій хвилі. Дійсно, в стоячій хвилі всі точки струни коливаються за одним й тим самим законом, тобто як B(t), а амплітуда коливань залежить тільки від координати точки, тобто описується функцією A(x).

Підставимо (13) у хвильове рівняння. Після ділення обох частин рів­няння на AB, отримуємо

(14)

Видно, що ліва частина цієї рівності не залежить від t, а права — від x. Це можливо лише за умови, що обидві частини не залежать ні від t, ані від x, тобто дорівнюють сталій. Припустимо, що ця стала негативна і по­значимо її як -k²c². В цьому випадку рівняння (14) розпадається на два:

, .

(15)

Рішення рівнянь (15) мають вигляд гармонічних функцій (впевніться в цьо­му):

A = A0 sinkx, B = B0 coskct ,

(16)

а рішення хвильового рівняння описує стоячу хвилю

y = y0 sinkxcoskct,

(17)

де y₀ — стала, що визначає амплітуду коливань.

Якщо припустити, що (14) дорівнює позитивний сталій, то в рівнянні (15) слід поміняти знак перед k². Тоді їх рішеннями будуть експоненційні функції, що описують згасаючий, а не коливальний рух.

Величина k не може бути довільною. Вона приймає лише такі зна­чен­ня, що визначаються умовами на кінцях струни y(0, t) = y (L, t) = 0 (L — довжина струни):

sinkL = 0, kL = n, n = 1, 2, 3, ...

(18)

Число n визначає кількість пучностей (але не вузлів!) стоячої хвилі. Таким чином, за даних кінцевих умов хвильове рівняння має рішення (17) з такими значеннями k, що задовільняють (18).

Частота коливань f визначається із (17) як

kc = 2f.

(19)

З рівнянь (18), (19) визначаються власні частоти струни, тобто частоти, при яких в струні збуджуються стоячі хвилі:

(20)

Підставляючи (18), (19) в (17), отримуємо

y(x, t) = y0 sin(nx/L)cos(2ft).

(21)

Цю формулу слід порівняти з формулою (9).