Числе возможных состояний
Некоторые задачи приводят к необходимости анализа систем гибели и размножения с неограниченным числом возможных состояний. Пусть, например, начиная с некоторого момента времени t=0, начинается поставка в эксплуатацию некоторых изделий. Поток поставляемых изделий полагаем простейшим с интенсивностью изделий в единицу времени. Каждое изделие эксплуатируется в среднем время T, а затем выбывает и больше в эксплуатацию не возвращается. Поток выбывающих из эксплуатации изделий полагаем простейшим с интенсивностью =1/ T .
Требуется исследовать динамику изменения среднего числа изделий, находящихся в эксплуатации.
Задача сводится к анализу схемы гибели и размножения, представленного на рисунке
Разметка графа отражает тот факт, что с ростом числа изделий, находящихся в эксплуатации, пропорционально растет и интенсивность выбывания изделий.
Уравнения Колмогорова
где - вероятность того, что в момент t в эксплуатации будут находиться k изделий.
Часто исследователей интересует математическое ожидание числа изделий, находящихся в эксплуатации. Можно показать, что математическое ожидание числа изделий, находящихся в эксплуатации ( K(t) ) определяется выражением
.
При t→∞ K(t)→λ∕μ.
Многоканальные системы с отказами Распределение Эрланга, первая формула Эрланга
Описание системы. Число каналов обслуживания - n. Поток заявок - простейший с параметром (интенсивностью) . Параметр потока не зависит от числа заявок, связанных с системой. Производительность каждого канала обслуживания - , время обслуживания - T=1/. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, теряется (получает орказ в обслуживании, покидает систему и больше в нее не возвращается).
Множество возможных состояний системы:
S0 - все каналы обслуживания свободны, Sk - занято k каналов (1k<n), Sn- заняты все n каналов.
При наличии нескольких свободных каналов, канал для обслуживания очередной заявки выбирается случайно. Какие именно k из n каналов заняты, безразлично.
Размеченный граф состояний изображен на рисунке. Поток заявок не зависит от состояния системы , а интенсивность обслуженных заявок растет пропорционально числу занятых обслуживанием заявок каналов от до n.
Пользуясь правилом составления уравнений Колмогорова, можно составить систему дифференциальных уравнений.
Эти уравнения называются уравнениями Эрланга.
Для большинства практических задач достаточно найти предельные вероятности состояний. Для этого в системе дифференциальных уравнений следует приравнять нулю производные вероятностей состояний по времени:
Система однородных алгебраических уравнений совместно с нормировочным уравнением определяет стационарные вероятности состояний.
Граф состояний системы соответствует схеме гибели и размножения, следовательно:
.
Формулы определяют вероятности занятости ровно k каналов из n в многоканальной системе с отказами.
Вероятность занятости всех каналов n-канальной системе массового обслуживания
Это так называемая первая формула Эрланга.
Формула получена для простейшего входящего потока в предположении, что распределение времени обслуживания каждого канала экспоненциальное. Распределение Эрланга справедливо и для произвольного непрерывного закона распределения времени обслуживания при постоянном значении его математического ожидания .
Замечание. Формально, из первой формулы Эрланга следует, что при числе каналов равном нулю (n=0) вероятность занятости всех каналов такой виртуальной системы равна единице при любых α.
Распределения вероятностей числа занятых каналов при разной нагрузке (=1 и =3) для пятиканальной системы представлены на рисунке.
Если число каналов в системе велико, то
и, следовательно,
.
Эта формула может применяться для вычисления вероятностей pk для больших n и не слишком больших .
Показатели эффективности системы.
Вероятность отказа в обслуживании
.
Абсолютная пропускная способность системы
Среднее число занятых каналов
Или проще:
.
Часто возникает необходимость при заданном найти число каналов (n), обеспечивающих вероятность отказов, не более заданной ( pn Pотк). Для этого необходимо решить уравнение относительно n.
Для этого можно пользоваться рекуррентным соотношением, имея ввиду, что
Проделаем простые преобразования:
.
Тогда, если представить pn в виде:
и разделить числитель и знаменатель на , то получим рекуррентное соотношение для первой формулы Эрланга
Соотношение позволяет вычислять последовательность значений вероятности pn при изменении n и фиксированной нагрузке . Для начала вычислений для заданного значения α полагается n=1, p0=1. Тогда вероятность занятости канала в одноканальной системе
p1=/(1+).
Подставив это значение в рекуррентную формулу, получим вероятность занятости всех каналов в двухканальной системе с отказами (т.е. вероятность отказа в обслуживании)
и так до получения вероятности требуемой занятости всех каналов.