![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть две
прямые
заданы каноническими уравнениями:
Две прямые в пространстве могут:
-
Пересекаться ( но не совпадать ):
-
Быть параллельными ( но не совпадать ):
-
Совпадать:
-
Скрещиваться.
Рассмотрим каждый из четырех случаев.
-
A
Прямые
пересекаются в точке A.
компланарные
векторы, но
но
неверная
пропорция.
Здесь
,
точки, принадлежащие прямым
соответственно;
направляющие векторы этих прямых.
Прямые
параллельны, но не совпадают.
но
но
неверная пропорция.
-
Прямые
совпадают.
-
Прямые
скрещиваются.
Две прямые
скрещиваются тогда и только тогда,
когда существуют две параллельные
плоскости
такие, что
( см. рисунок ).
Из рисунка следует,
что прямые
скрещиваются тогда и только тогда, когда
векторы
некомпланарны.
Следовательно, необходимым и достаточным
условием того, что прямые
скрещиваются, является условие
Рассмотрим некоторые задачи, связанные со взаимным расположением двух прямых в пространстве.
Задача 1.
Найти
расстояние между параллельными прямыми
.
Пусть
Имеем:
направляющий
вектор прямых.
Ищем
как
высоту параллелограмма, построенного
на векторах
Ищем
как
высоту параллелограмма , построенного
на векторах
(
см. рисунок)
расстояние от точки
до прямой L,
если
Здесь
направляющий
вектор прямой,
:
Задача
3. Найти
угол между прямыми
и
,
если
Ищем
как угол между векторами
Задача 4.
Найти
расстояние между скрещивающимися
прямыми
и
,
если
Ищем расстояние
как
высоту параллелепипеда, построенного
на векторах
( см. рисунок ):
4.Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая L задана каноническим уравнением:
плоскость P задана общим уравнением:
Прямая L может: 1) пересекать плоскость P в точке A;
2) быть параллельной плоскости P;
3) принадлежать плоскости P.
Рассмотрим эти три случая.
-
Прямая и плоскость пересекаются в точке:
.
В этом случае
векторы
и
не являются взаимно ортогональными,
следовательно, их скалярное произведение
не равно 0:
L A P
Найдем угол
между прямой L
и плоскостью P.
Обозначим α
искомый угол между прямой и плоскостью,
β – угол между нормалью к плоскости и
направляющим вектором прямой ( см.
рисунок ). Очевидно, что
Отсюда
2.Прямая L параллельна P плоскости, но не лежит в плоскости P:
,
но
В этом случае векторы
и
взаимно перпендикулярны, но точка
лежащая на прямой L,
не принадлежит
плоскости P.
L
но
P
3.Прямая L
лежит в плоскости P:
В этом случае выполнены условия
;
точка
,
лежащая на прямой L,
принадлежит
плоскости P.
Следовательно, векторы
и
взаимно перпендикулярны, точка
принадлежит плоскости P.
P L