3.4 Пример выполнения лабораторной работы №3

Решите систему уравнений методом Гаусса и методом LU разложения

Решите систему уравнений методом прогонки

Метод Гаусса для решения СЛАУ.

Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов

Проверяем невырожденность матрицы коэффициентов

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица не вырождена.

Вводим функцию выбора главного элемента с последующим установлением его на главную диагональ

Вызываем функцию выбора главного элемента

Выводим пример работы данной функции

Вводим функцию, реализующую алгоритм прямого хода метода Гаусса с выбором главного элемента

Вызываем данную функцию

Выводим результат работы данной функции

Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса

Вызываем данную функцию

Выводим решение СЛАУ и делаем проверку

Метод LU разложения для решения СЛАУ.

Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов

Вводим функцию, реализующую алгоритм LU разложения

Вызываем данную функцию

Выводим матрицы L и U

Делаем проверку

Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса с нижнетреугольной матрицей L

Вызываем данную функцию

Выводим результат работы функции

Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса с верхнетреугольной матрицей U

Вызываем данную функцию

Выводим решение СЛАУ и делаем проверку

Метод прогонки для решения СЛАУ.

Задаем диагонали матрицы коэффициентов и столбец свободных членов

Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки

Выводим результат работы функции

3.5 Варианты заданий к лабораторной работе №3

Задание 1

Решите системы уравнений методом Гаусса и методом LU разложения.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Задание 2

Решите системы уравнений методом прогонки.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. титульный лист;

2. постановку задачи (согласно варианту);

3. краткое описание прямых методов расчета СЛАУ;

4. программную реализацию данных методов;

5. выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы решения СЛАУ вы знаете?

2. Какое условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ?

3. Какое условие применимости метода LU разложения?

4. Какой из алгоритмов метод Гаусса (прямой или обратный ход) наиболее трудоемкий с точки зрения количества арифметических операций?

5. Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом Гаусса.

6. Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом LU разложения.

7. Условие применимости метода прогонки.

8. Получить оценки числа арифметических операций для метода прогонки.

9*. В каком случае метод LU разложения требует меньшего количества арифметических операций для решения СЛАУ, чем метод Гаусса?

10*. Как изменяется условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ, если не используется алгоритм выбора главного элемента?

4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Итерационные методы позволяет найти последовательность приближений {x⁽ⁿ⁾}, сходящуюся к точному решению при n, т.е. . Поскольку бесконечные процессы нереализуемы на практике, то обычно выполняется конечное число итераций, т.е. строится конечное множество векторов х⁽¹⁾, х⁽²⁾, … х^(к), причем, задаваясь некоторым малым числом >0 (погрешностью решения) добиваются, чтобы , где - некоторая норма вектора.