- •Таганрогский государственный радиотехнический университет
- •Введение
- •1 Численное интегрирование
- •1.1 Основные методы численного интегрирования
- •1.2 Пример выполнения лабораторной работы №1
- •1.3 Варианты заданий к лабораторной работе №1
- •2 Методы решения нелинейных уравнений
- •2.1 Метод половинного деления
- •2.2 Метод хорд (метод линейной интерполяции)
- •2.3 Метод секущих
- •2.4 Метод Ньютона
- •2.5 Пример выполнения лабораторной работы №2
- •2.6 Варианты заданий к лабораторной работе №2
- •3 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1 Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.2. Алгоритм lu-разложения.
- •3.3. Метод прогонки.
- •3.4 Пример выполнения лабораторной работы №3
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки
- •3.5 Варианты заданий к лабораторной работе №3
- •4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя.
- •4.2. Каноническая форма итерационных методов.
- •4.3. Вариационно-итерационные методы решения слау.
- •4.4 Пример выполнения лабораторной работы №4
- •Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя
- •4.5 Варианты заданий к лабораторной работе №4
- •5 Методы решения задачи Коши
- •5.1. Метод Эйлера.
- •5.2. Метод Рунге-Кутта.
- •Пример выполнения лабораторной работы №5
- •5.4 Варианты заданий к лабораторной работе №5
- •6 Методы приближения функций
- •6.1. Интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона.
- •6.2 Интерполяционный кубический сплайн.
- •6.3 Понятие о методе наименьших квадратов.
- •6.4 Интерполяционный тригонометрический полином
- •6.5 Пример выполнения лабораторной работы №6
- •Интерполяционный полином Лагранжа.
- •6.6 Варианты заданий к лабораторной работе №6
2.2 Метод хорд (метод линейной интерполяции)
Идея метода хорд состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика ) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям и . (Линейной интерполяцией функции назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями в двух фиксированных точках, в данном случае – в точках и .)
Рис 2.2. Построение последовательного приближения по методу хорд
Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .
Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению
,
построенному для отрезка между и , график которой проходит через точку :
Решая уравнение , находим
то есть
Заметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной в точке . Тем самым полученная формула – это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.
Вычисления ведутся непосредственно по данной формуле при , начиная с двух приближений и , взятых, по возможности, поближе к корню . При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции в точках и , имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой приближает истинное значение корня , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где – желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным .
2.3 Метод секущих
Идея метода секущих состоит в том, выбирают любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет
Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения
откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .
Рис.2.3 Последовательные итерации метода секущих
На чертеже изображены итерации. Мы видим, что последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.