2.4 Метод Ньютона

Рассмотрим эффективный метод решения нелинейных уравнений, носящий имя Ньютона. Вначале приведем некоторые наводящие рассуждения. Пусть функция y = F(x), корень которой ищется, имеет производные до 2-го порядка в окрестности корня - точки . Пусть уже найдено приближение номера n к корню (n-ая итерация) и требуется найти приближение номера n+1. По формуле Тейлора имеем

F(x_n+1) = F(x_n) + F’(x_n)  (x_n+1 – x_n) + O(x_n+1 – x_n)².

Пренебрежем остаточным членом порядка O(x_n+1 – x_n)² в правой части формулы и, будем считать, что x_n+1  , т.е. приближение номера n+1 найдено столь точно, что F(x_n+1)  0.

Тогда имеем приближенное равенство

0  F(x_n) + F'(x_n) (x_n+1 – x_n).

Выражая отсюда x_n+1 при условии F'(x_n)  0, и, переходя от приближенного равенства к точному, получим

Конечно, данные рассуждения не претендуют на роль строгого вывода и не могут служить обоснованием метода Ньютона. Перейдем к обоснованию метода Ньютона. Будем рассматривать лишь случай поиска вещественных корней.

Предположим, что уравнение

F(x) = 0

(2.1)

имеет простой вещественный корень x_* , т.е.

F(x_*) = 0,

Будем предполагать, что F(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x_*, т.е. для всех х принадлежащих некоторому интервалу (x_* - r₁, x_* + r₁), где r₁ > 0, причем F"(x) непрерывна на отрезке [x_* - r, x_* + r], 0 < r  r₁.

Исследуем сходимость метода Ньютона

(2.2)

Теорема 1. Пусть x_* - простой вещественный корень уравнения (4.1) и пусть F'(x)  0 в окрестности точки. x_*

= {x:x - x_* < r}.

Пусть, что F"(x) непрерывна на отрезке [x_*-r, x_*+r]   , причем

(2.3)

Тогда, если и

(2.4)

то метод Ньютона (2.2) сходится, и для погрешности справедлива оценка

(2.5)

Замечания.

Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т.е. он сходится быстрее метода простой итерации, который имеет линейную сходимость. Однако, метод Ньютона требует задания достаточно близкого к корню x_* начального приближения, удовлетворяющего неравенству (2.4) при соблюдении соотношений (2.3).