Задача д8 Исследование свободных колебаний

Возьмем двузначный вариант 84, согласно которому схема должна быть взята по рис. Д8.8, а исходные данные – из текста условия и таблицы Д8.1 (столбец 4).

Тогда из условия следует, что масса тел, входящих в колебательную систему, составляет: m₁=3,0, m₂=0,5, m₃=1,0кг. Кроме этого, задано: l₁=1м, R=15см, NА=АВ=ВД=ДЕ=ЕМ=0,2м, коэффициент жесткости каждой из пружин с = 4Н/см. Положительное направление отсчета угла поворота стержня φ и угловой скорости принять против хода часовой стрелки.

В таблице Д8.1 задано, что точкой крепления шарнира должна быть «А», а пружины закреплены в точке «Д». Кроме этого, заданы начальные условия колебаний, а именно φ₀= –0,05рад, = –0,08с^-1.

Требуется найти закон движения колебательной системы после выведения ее из положения равновесия, а также амплитуду и период ее малых колебаний.

И сходная схема с учетом этих данных будет выглядеть, как представлено на рис. Д8а.

Таким образом, задано: m₁=3,0, m₂=0,5, m₃=1,0кг; l₁=1м, R=15см, NА=0,2, АД=ДМ=0,4м; с=4Н/см=400Н/м; φ₀= –0,05рад, = –0,08с^-1; отсчет φ и против хода часовой стрелки;

определить: φ=f(t), амплитуду A, период T малых колебаний.

Решение

Для решения задачи используем уравнение Лагранжа 2 рода, выбрав за обобщенную координату угол поворота стержня 1, как показано на рис. Д8б Две заданные пружины заменим одной эквивалентной, для которой

с=с₁+с₂=4+4=8Н/см=800Н/м.

Заданная механическая система имеет одну степень свободы, а дей-твукющие на нее силы тяжести и упругости являются потенциальыми. Поэтому уравнение Лагранжа запишем в виде

, (1)

где П – потенциальная энергия механической системы.

Так как конструкция представляет одно жестко соединенное тело, его кинетическую энергию можно выразить как

T= 0,5Iω²=0,5I, (2)

где I – момент инерции конструкции относительно оси поворота А, который можно представить как

I=I₁ +I₂ +I₃.

I₁ =m₁l₁²/12 +m₁AC₁² =m₁[NM²/12 + (0,5NM–AN)²]=3[1,0²/12+(0,5·1–0,2)²]=

=0,52кгм².

I₂ =m₂AМ² =0,2·0,8²=0,128кгм².

I₃ =0,5m₃R²+m₃(R+NА)²=m₃[0,5R²+(R+NА)²]=1[0,5·0,15²+(0,15+0,2)²]=

0,13375кгм².

Таким образом,

I=0,52+0,128+0,13375=0,78175кгм².

Тогда

T=0,5·0,782.

Потенциальная энергия системы будет состоять из потенциальной энергии деформируемой пружины и потенциальной энергии тел, входящих в конструкцию т.е.

П= П_С + П_G1+П_G2+П_G3. (3)

Выразим все составляющие

П_С=0,5с(АДsinφ–λ_ст)²=0,5с(0,4sinφ–λ_ст)².

Пружину будем считать достаточно длинной, тогда указанная закономерность будет соблюдаться.

П_G1=m₁gАС₁sinφ=3g0,3sinφ=0,9gsinφ,

т.к. центр масс С₁ поднимается вверх относительно начала отсчета то потенциальная энергия его должна возрастать.

П_G2=m₂gАМsinφ=0,5g0,8sinφ

П_G3= –m₂gАС₃sinφ= –m₂g(АN+R₃)sinφ= –1,0g(0,2+0,15)sinφ= –0,35gsinφ.

Или

П_G=0,9gsinφ+0,5g0,8sinφ–0,35gsinφ=1,05gsinφ.

Тогда потенециальная энергия всей системы будет

П=0,5с(0,4sinφ–λ_ст)²+1,05gsinφ=

=0,08сsin²φ–0,4сsin(φ)·λ_ст+0,5сλ²_ст +1,05gsinφ. (4)

Для получения в конкретном виде уравнения (1) возьмем производные.

0; .

.

Так как требуется исследовать малые колебания системы, то потенциальную энергию по выражению (4) линеаризуем, предполагая sinφ≈φ. Тогда

П=0,08сφ²–0,4сφλ_ст+0,5сλ²_ст +1,05gφ;

0,16сφ–0,4сλ_ст+1,05g.

Однако, в положении статического равновесия, т.е. при φ=0, потенциальная энергия системы минимальна и

–0,4сλ_ст+1,05g=0.

Это позволяет вычислить величину статической деформации пружины и выразить обобщенную силу.

λ_ст=1,05g/0,4с=1,05·9,81/(0,4·400)=0,064м=6,4см.

= –0,16сφ.

В итоге получаем дифференциальное уравнение движения системы в виде

I,

или

=0 → =0.

После вычислений получим

(5)

Выражение (5) можно представить в стандартном виде

. (6)

Это позволяет утверждать, что колебания конструкции происходят по закону

φ=Аsin(кt+α),

где круговая частота колебаний

к=9,047с^-1

Так как начальная фаза колебаний задана по условию

α=φ₀= –0,05рад,

то амплитуду А определим по формуле

А==0,051рад =2,9град.

Следовательно,

φ=0,051sin(9,047t – 0,05) рад.

Это и есть уравнение свободных гармонических колебаний конструкции около положения равновесия.

Период колебаний определим как

Т=2π/к=2π/9,047=0,69с.

Таким образом, все необходимые величины определены.