Статика

Задача С1

Равновесие тела под действием плоской системы сил

Возьмем двузначный вариант 97, согласно которому схема должна быть по рис. С1.9(см. рис. С1а), а данные – по тексту условия задачи и строке 7 таблицы С1.1 [1].

Из текста условия задачи следует, что на конструкцию действуют силы F₁ = 8кН, F₂ = 12кН, направление которых определяется углами ₁=₂= 30⁰, и пара сил с моментом М = 10кНм. Кроме этого, указано, что угол  = 30⁰ а размер а нужно принять равным 0,4м.

В таблице С1.1 задано, что α=β=270⁰, а силы F₁ и F₂ приложены в точках Е и Д.

Тогда конкретная конструкция по варианту 97 с учетом приведенных данных будет выглядеть, как представлено на рис. С1б, при этом построение начато с точки А.

Требуется определить реакции и моменты связей в точках В и А, а также произвести проверку полученных результатов.

Таким образом, задано: F₁ = 8, F₂ = 12кН; М = 10кНм; ₁= ₂= 30⁰, =30⁰, α=β=270⁰, а=0,4м;

определить: R_A, R_B, M_B.

Решение

Освободим конструкцию от связей, заменим их действие реакциями и выберем систему отсчета в виде декартовых координат. Тогда расчетная схема будет выглядеть, как представлено на рис. С1в.

Составим уравнения равновесия тела, включая в них заданные силы а также реакции и моменты связей.

=R_Acos60⁰+F₁cos30⁰+F₂cos60⁰=0; (1)

=R_Asin60⁰+F₁sin30⁰+F₂sin60⁰+R_B=0; (2)

= –R_Asin60⁰7a–R_Acos60⁰2a+M–F₁sin30⁰3a–F₁cos30⁰2a–F₂sin60⁰3a+M_B=0. (3)

Решение уравнений начнем с простейшего:

(1)→ R_A= – (F₁cos30⁰+F₂cos60⁰)/cos60⁰= –(8cos30⁰+12cos60⁰)/cos60⁰= – 25,856кН.

П олученный результат показывает, что опорная плоскость должна обеспечить реакцию в точке А противоположного направления, в противном случае равновесие тела невозможно. Этого можно достигнуть поворотом опорной плоскости на 180⁰ и некоторым изменением конструкции для обеспечения контакта как, например, показано на рис. С1г. Будем считать, что эти операции проведены и полученное направление реакции обеспечивается.

Тогда из других уравнений получим:

(2)→ R_B= –(R_Asin60⁰+F₁sin30⁰+F₂sin60⁰)= = –(( – 25,856)sin60⁰+8sin30⁰+12sin60⁰)=8,00кН;

(3)→ M_B=R_A(sin60⁰7+cos60⁰·2)a-M+F₁(sin30⁰·3+cos30⁰·2)a +F₂sin60⁰·3a= (–25,856)(sin60⁰·7+cos60⁰·2)0,4 –10 +8(sin30⁰·3+cos30⁰·2)0,4+12sin60⁰·3∙0,4=

= –60,227кНм.

Для проверки полученных результатов составим уравнение моментов сил относительно точки Е:

= –R_Asin60⁰4a+M+F₂соs60⁰2a+M_B+R_B3a= = –(–25,856)sin60⁰·4∙0,4+10+12соs60⁰·2∙0,4+(–60,227)+8,0∙3∙0,4=0,0001 ≈ 0.

Полученное отклонение от нулевого значения вполне можно объяснить погрешностями расчетов.

4a

Задача С2

Равновесие плоской сочлененной конструкции

Берем двузначный вариант 36, согласно которому схема должна быть по рис. С2.3, а данные – по строке 6 таблицы С2.1 и тексту условия.

Из текста условия следует, что на конструкцию действуют: пара сил с моментом М=6кНм, распределенная нагрузка с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону, для которой q_max = 3кН/м и две силы F₁=4кН и F₂=10кН. Кроме этого, указано, что размер а нужно принять равным 0,5м, а углы ₁ = ₂=60⁰. Угол γ в пособия [1] оказался пропущенным, поэтому примем его равным 30⁰.

По таблице С2.1 задано, что угол α=180⁰, β=270⁰, сила F₁ приложена в точке Д, сила F₂ – в точке Р, а распределенная нагрузка приложена на участке СД(АД). Заданная схема представлена на рис. С2а.

Требуется определить реакции и моменты внешних связей, а также усилия в

промежуточном соединении, если конструкция находится в состоянии равно-весия.

С учетом приведенных выше данных скомпонуем конкретную схему и представим ее на рис. С2б. В качестве связей, как видно по схеме, используются: стержень АС, неподвижный шарнир В, подвижный шарнир Р и скользящая плоская заделка Е.

Таким образом,

задано: М=6кНм, q_max = 3кН/м, F₁=4, F₂=10кН, а=0,5м, ₁=₂=60⁰, γ=30⁰, α=180⁰, β=270⁰;

определить: X_B, Y_B, R_P, R_Е, М_Е, S_C.

Решение

Расчленим конструкцию в точках А и С, заменим действие связей реакциями и моментами, а вместо распределенной нагрузки представим ее равнодействующую Q. Тогда в качестве расчетных будем иметь две схемы, представленные на рисунках С2в и С2г. Системой координат «х,у» воспользуемся одной, которая показана на рис. С2в. Таким образом, вместо одного сочлененного тела будем иметь два, для каждого из которых составим уравнения равновесия. При этом учтем, что

Q =0,5q_max·3a=0,5·3·3·0,5=2,25кН.

Левая часть (рис. С2в)

∑F_X=X_B+R_P+F₂cos30⁰+S_Csin30⁰=0; (1)

∑F_Y=Y_B+F₂sin30⁰+S_Ccos30⁰=0; (2)

∑M_B=R_P3a+F₂cos30⁰3a+S_Csin30⁰3a+S_Ccos30⁰2a=0. (3)

Правая часть (рис. С2г)

∑F_X= –S_Аsin30⁰+F₁cos60⁰=0 (4)

∑F_Y=R_Е–S_Аcos30⁰+F₁sin60⁰–Q=0 (5)

∑M_А=F₁cos30⁰3a+М+М_Е–Q2а+R_Е7а=0 (6)

Учитывая, что S_C=S_А, решение уравнений дает:

(4)→ S_А=F₁cos60⁰/sin30⁰=F₁=4кН;

(5)→ R_Е=S_Аcos30⁰–F₁sin60⁰+Q=4cos30⁰–4sin60⁰+2,25=2,25кН;

(6)→ М_Е= –F₁cos30⁰3a-М+Q2а–R_Е7а= –4cos30⁰·3·0,5-6+2,25·2·0,5–2,25·7·0,5 =

= –16,821кНм;

(3)→ R_P= –(F₂cos30⁰·3+S_Csin30⁰·3+S_Ccos30⁰·2)/3=

= –(10cos30⁰·3+4sin30⁰·3+4cos30⁰·2)/3= –12,969кН;

(2)→ Y_B= –(F₂sin30⁰+S_Ccos30⁰)= –(10sin30⁰+4cos30⁰)= –8,464кН;

(1)→ X_B= –R_P–F₂cos30⁰–S_Csin30⁰= –(–12,969)–10cos30⁰–4sin30⁰=2,309кН.

Как видно по результатам расчетов, действительное направление реакций R_P, Y_B, а также момента скользящей заделки М_Е оказалось противоположным показанному на рисунках.

Проверка полученных результатов также может быть проведена аналогично той, которая выполнена при решении задачи С1. Но в этом случае одного уравнения моментов может оказаться недостаточно

Задача С3

Определение усилий в стержнях плоской фермы

Берем трехзначный вариант 674, согласно которому схема должна соответствовать рис. С3.6, основные данные взяты из текста и таблицы С3.1 по строчке 7, дополнительные данные – из колонки 4 таблицы С3.2.

Тогда из условия задачи следует, что заданные силы Р₁=20, Р₂=50кН, геометрический размер a составляет 1м.

В таблице С3.1 указано, что точками приложения сил являются Д и К, а требуется определить усилия в стержнях № 2 и № 7.

Из таблицы С3.2 следует, что уголы α₁=0, а α₂=270⁰.

Согласно этим данным исходная схема должна выглядеть как представлено на рис С3а.

Используя метод «вырезания узлов», необходимо определить усилия в стержнях № 2 и № 7 и указать, какому воздействию они подвержены – сжатию или растяжению.

Таким образом, задано: Р₁=20(в точке Д), Р₂=50кН(в точке К), a = 1м, α₁=0, α₂=270⁰;

определить: S₂, S₇.

Решение

Стержень 2 входит в узел А, связанный с неподвижным шарниром, поэтому возникающее в нем усилие можно определить после нахождения реакций этого шарнира. А вот стежень 7 входит в узлы С и К, в которых сходятся по 4 стержня. Так как для одного «вырезанного узла» можно определить через уравнения равно-

весия только 2 неизвестных, то придется «вырезать» сначала узел В, затем Д и после этого узел С.

Прежде всего, составим расчетную схему для определения реакций связей в точках А и В и представим ее на рис С3б. Тогда, рассматривая всю ферму как одно целое, получим уравнеия равновесия.

=Х_А+Р₁=0; (1)

= –Р₁2аcos30⁰+P₂a–R_B2a=0 (2)

= –Р₁2аcos30⁰–P₂a+Y_A2a=0. (3)

Решение уравнений дает:

(1)→ Х_А= –Р₁= –20кН(направлено в противоположную сторону);

(2)→ R_B=(–Р₁2cos30⁰+P₂)/2=(–20∙2cos30⁰+50)/2=7,680кН;

(3)→ Y_A=(Р₁2cos30⁰+P₂)/2=(20∙2cos30⁰+50)/2=42,320кН.

Рассмотрим теперь равновесие узла А, представив расчетную схему на рис С3в. При этом уже вычисленные проекции реакций Х_А и У_А покажем на схеме с учетом их действительного направления и предположим, что стержни 1 и 2 подвергнуты растяжению. Тогда

= –S₂sin30⁰ –X_A=0; (4)

=S₁+Y_A=0. (5)

Решение уравнений дает:

(4)→ S₂= –X_A/sin30⁰= –20/sin30⁰= –40кН (стержень сжат).

Усилие S₁ по условию задачи определять не требуется.

Следующим «вырезаем» узел В. Для известных по величине сил показываем их действительное направление, а неизвенстные реакции S₁₀ и S₁₁ направим от узла, предполагая растяжение стержней. Расчетная схема узла представлена на рис. С3г.

Уравнения равновесия узла будут иметь вид

=S₁₀sin30⁰=0; (6)

=S₁₁+R_B=0. (7)

И з уравнения (6) следует, что S₁₀=0, а уравнения (7) дает:

S₁₁= –R_B= –7,680кН (стержень сжат).

Для рассмотрения равновесия узла Д также условимся заданные силы показывать по их действительному направлению, а стержни 8 и 9 предположим растянутыми. Тогда схема сил будет выглядеть, как представлено на рис. С3д. Уравнения равновесия узла Д будут иметь вид:

=Р₁ +S₈+S₉sin30⁰=0; (8)

=S₁₁+-S₉соs30⁰=0. (9)

Требуемое усилие S₉ получим из уравнения (9):

S₉=S₁₁/соs30⁰=7,680/соs30⁰=8,868кН (стержень растянут).

Так как усилие S₈ определять не требуется, то уравнение (8) остается не использованным.

Расчетная схема, касающаяся равновесия узла С, представлена на рис. С3е, при этом предполагается, что все стержни подвергнуты усилиям растяжения, хотя ранее уже получено, что S₁₀=0. Уравнения равновесия узла будут иметь вид:

= –S₉sin30⁰+S₇sin30⁰–S₁₀sin30⁰+S₆=0; (10)

=S₉соs30⁰+S₇соs30⁰–S₁₀соs30⁰=0. (11)

Решение уравнения (11) дает:

S₇=S₁₀ – S₉=0–8,868= –8,868кН (стержень сжат).

Если бы требовалось определить усилие в стержне 6, то можно было бы использовать и уравнение (10).

Задача С4

Равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил

Возьмем трехзначный вариант 978, что соответствует схеме по рис. С4.9, основным данным по строчке 7 таблицы С4.1 и дополнительным данным по колонке 8 таблицы С4.2.

Из текста условия задачи следует, что вес большей плиты Р₁ составляет 5кН, вес меньшей – Р₂ =3кН, а на конструкцию действуют сила F=50кН, пара сил и усилия в ветвях ремня Т=1,0 и t=0,5кН, передающиеся на шкив. Кроме этого, заданы линейные размеры и углы: а=0,4м, радиус шкива R=0,1м, =60⁰, =30⁰.

В таблице С4.1 указано, что сила F должна быть приложена в точке N, угол , определящий ее направление, должен отсчитываться от оси «х» в сторону оси «у», а момент пары сил М₁ = –30кНм.

Из дополнительной таблицы С4.2 следует, что угол  нужно принять равным –150⁰, в отличие от того, что задано по тексту.

Требуется определить реакции связей в точках А и В конструкции и усилия, возникающие в стержнях.

Таким образом, задано:

Р₁=5, Р₂ =3, F=50, Т=1,0, t=0,5кН; М₁= – 30кНм;  =60⁰,  =30⁰, = –150⁰; а=0,4, R=0,1м;

определить: Х_А, У_А, Z_A, Х_В,У_В, S_L.

Решение

С учетом приведенных данных представим схему по варианту на рис. С4а и превратим ее в расчетную. Для этой

цели в центрах тяжести С₁ и С₂ приложим силы тяжести обеих плит и , в точке N –заданную силу с учетом угла  =-150⁰, а действие связей заменим

соответствующими реакциями. При этом предполагается, что стержень в точке L подвержен растяжению, а момент пары сил М₁ показан без учета его знака.

Составим уравнения равновесия всей конструкции согласно схеме, представленной на рис. С4а.

=0 (1)

=0; (2)

=0; (3)

–S_Lsinψ4a–P₁2a–P₂2a–Fsin30⁰2a–Tsinθ5a=0; (4)

S_Lsinψ3a+S_Lcosψ2a+Fcos30⁰2a+P₁1,5a+P₂3a+TR–tR=0; (5)

–X_B4a+S_Lcosψ4a–Fsin30⁰3a+M₁+t5a+Tcosθ5a=0. (6)

Решение уравнений дает:

(2)→ Y_A=Fsin30⁰=50sin30⁰=25кН;

(5)→ S_L= –[(Fcos30⁰·2+P₁·1,5+P₂·3)a+(T–t)R]/(sinψ3+cosψ2)a=

–[(50cos30⁰·2+5·1,5+3·3)0,4+(1–0,5)0,1]/(sin60⁰·3+cos60⁰·2)0,4= –28,690кН;

(6)→ X_B=[(S_Lcosψ·4–Fsin30⁰·3+t·5+Tcosθ·5)a+M₁]/4a=

=[((–28,69)cos60⁰·4–50sin30⁰·3+0,5·5+1·cos30⁰·5)0,4+(–30)]/(4·0,4)= –50,137кН;

(4)→ Z_B=(S_Lsinψ·4+P₁·2+P₂·2+Fsin30⁰·2+Tsinθ·5)/5=

((–28,69)sin60⁰·4+5·2+3·2+50sin30⁰·2+1·sin30⁰·5)/5= – 6,177кН;

(3)→ Z_A= –Z_B+S_Lsinψ+P₁+P₂+Tsinθ=

= –(–6,177)+(–28,69)sin60⁰+5+3+1·sin30⁰= – 10,169кН;

(3)→ X_A=-X_B+S_Lcosψ+Fcos30⁰+Tcosθ+t=

= –(–50,137)+(–28,69)cos60⁰+50cos30⁰+1·cos30⁰+0,5 = 80,459кН.

Полученные результаты показывают, что действительные реакции X_B, Z_A и Z_B оказались противоположными показанному на схеме, а стержень О₁L вместо растягивающей испытывает сжимающую нагрузку.