4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией

Ячеечная модель с рециркуляцией (ЯМР) является модификацией ячеечной модели. Необходимость создания этой модели заключалась в том, что ЯМ не всегда адекватно воспроизводила структуру потока в реальном аппарате (например, в аппарате кипящего слоя, колонных аппаратах с провальными тарелками, насадочных аппаратах и т.д.).

Согласно ЯМР аппарат рассматривается как последовательность зон с сосредоточенными параметрами, причем каждая из зон эквивалентна ячейке идеального перемешивания. Далее предполагается, что между ячейками существуют обратные токи. Параметрами ЯМР являются среднее время пребывания, количество ячеек и доля обратного тока. Принципиальная схема модели приведена на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Принципиальная схема ЯМР

Математическое описание модели для случая, когда объемы ячеек, среднее время пребывания потока в каждой из них и количество обратного тока v соответственно равны, имеет вид

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(4.17)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

,

где V_i – объем одной ячейки, – прямой поток вещества в ячейке, v – обратный поток вещества в ячейке, С_i – концентрация вещества в соответствующей ячейке.

Если величину , равную доле обратного тока, обозначить как f, то разделив обе части уравнений системы (4.17) на с учетом , получим

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(4.18)8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

Для системы выполняются следующие начальные условия: С₁ = С_1н, ..., С_j = С_jн , ..., С_n = C_nн при t = 0.

При n   и f = const ЯМР  ИВ; при n = const и f   ЯМР  ИП; при n   и f   ЯМР  ДМ.

В условиях стационарного режима и отсутствия каких-либо превращений в аппарате С_вх = С_i = С_вых = С_n. Отклики модели на типовые возмущения представлены на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Отклики модели на типовые возмущения

Оценка параметров n и f ЯМР.

Параметры n и f можно определить, решая систему уравнений:

, (4.19)

, (4.20)

где x = f/(1+f), а – второй и третий начальные моменты безразмерной С-кривой.

Связь между числом ячеек n, долей обратного тока f и безразмерной дисперсией можно описать уравнением

. (4.21)

ЯМР наиболее адекватно описывает структуру потока в насадочных и секционированных колонных аппаратах, где наблюдается заброс вещества в сторону, противоположную направлению основного потока.

4.5. Диффузионная модель

В основе диффузионной модели лежит допущение, что структура потока описывается уравнением, аналогичным уравнению молекулярной диффузии, но в отличие от коэффициента молекулярной диффузии здесь используется коэффициент продольного перемешивания или турбулентной диффузии D_l. Можно также сказать, что основой ДМ является модель ИВ, осложненная обратным перемешиванием. Параметром модели является коэффициент продольного перемешивания D_l. Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Принципиальная схема диффузионной модели

Для получения математического описания модели составим уравнение материального баланса для элемента аппарата длиной dz. В рассматриваемый элемент поступают конвективный поток FWC и поток, вызываемый турбулентной диффузией , а покидают его – конвективный поток и поток, вызываемый турбулентной диффузией .

В соответствии с законом сохранения массы разность между входящим и выходящим потоками должна быть равна накоплению вещества в рассматриваемом элементе,

(4.22) –.

Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, получим

. (4.23)

Данное уравнение является основным уравнением диффузии. Здесь F – площадь сечения аппарата, м²; w – скорость потока, м/с; t – время, с; C – концентрация вещества, кг/м³; D_l – коэффициент продольного перемешивания, м²/с.

При D_l  0, ДМ  ИВ. При D_l  , ДМ  ИП.

На настоящий момент не существует точных аналитических методов определения коэффициента диффузии. С достаточной степенью точности его можно определить только экспериментально, например, через центральный момент второго порядка кривой отклика на импульсное возмущение и критерий Пекле,

, (4.24)

где – критерий Пекле.

При значениях , можно принять

. (4.25)

Уравнение (4.24) является основным уравнением для определения критерия Пекле по экспериментальным данным. Отклики модели на типовые возмущения представлены на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Отклики модели на типовые возмущения

ДМ наиболее адекватно описывает структуру потока в аппаратах трубчатого и колонного типа, где наблюдается заброс вещества в сторону, противоположную направлению основного потока.