- •Моделирование химико-технологических процессов
- •Оглавление
- •Введение, основные понятия и определения
- •1. Методы моделирования и область их применения
- •1.1. Физическое моделирование (фм)
- •1.2. Математическое моделирование (мм)
- •2. Основные принципы и направления при построении и решении математических моделей
- •2.1. Составление математической модели
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
- •4. Типовые модели структуры потока
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.3. Ячеечная модель
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих моделям ип и ив
- •5. Методы статистического анализа эксперимента
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, распределение Стьюдента
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины
- •5.7. Проверка однородности результатов измерений
- •6. Планирование эксперимента
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.2. Выбор области проведения эксперимента
- •6.3. Полный факторный эксперимент (пфэ)
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •7. Оптимизация эксперимента
- •8. Планы второго порядка
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Список литературы
- •Приложение 1. Квантили нормального распределения
- •Приложение 2. Квантили распределения Пирсона
- •Приложение 3. Значения параметра для различных уровней значимости и степеней свободы
- •Приложение 4. Квантили распределения Стьюдента
- •Приложение 6. Пример использования модели ип для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Приложение 7. Примеры использования типовых моделей для описания процесса теплообмена
- •Лицензия лр № 020370
1.2. Математическое моделирование (мм)
Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Математической моделью называется приближенное описание процесса или явления с помощью математической символики.
Преимущества ММ:
– позволяет осуществить с помощью одного устройства решение целого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание;
– обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, введение переменных параметров, возмущений и различных граничных условий;
– дает возможность моделирования по частям (по элементарным процессам);
– использует эффективное средство исследования процессов – ЭВМ, которое непрерывно совершенствуется;
– экономичнее физического моделирования как по затратам времени, так и по стоимости.
Существенным недостатком математического моделирования является трудоемкость детального описания свойств изучаемой сложной химической системы с помощью современного математического аппарата.
Классификация моделей по временно-пространственному признаку
Все химико-технологические процессы, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на четыре класса:
– процессы неизменные во времени (стационарные);
– процессы переменные во времени (нестационарные);
– процессы с неизменными в пространстве параметрами;
– процессы с изменяющимися в пространстве параметрами.
Поскольку математические модели являются отражением соответствующих процессов, то для них характерны те же классы:
– модели, неизменные во времени, – статические модели;
– модели, переменные во времени, – динамические модели;
– модели, с неизменными в пространстве параметрами, – модели с сосредоточенными параметрами;
– модели, с изменяющимися в пространстве параметрами, – модели с распределенными параметрами.
Рассмотрим перечисленные классы моделей.
Статическая модель отражает работу объекта в стационарных условиях. Соответственно ее математическое описание не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. В качестве примера объекта, описываемого статической моделью, можно привести аппарат идеального перемешивания объемом с установившимся режимом работы при непрерывной подаче реагентов A и B в количестве и , и непрерывном отводе продуктов реакции (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Схема аппарата идеального
перемешивания
Математическое описание аппарата включает следующие уравнения материального баланса:
, . (1.9) |
Здесь k – константа скорости реакции; и – соответственно концентрации реагентов А и В на входе в реактор и выходе из него.
Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей всегда включает производную по времени. Примером динамической модели может служить рассмотренный выше аппарат идеального перемешивания, работающий в нестационарном режиме. В этом случае математическое описание аппарата включает следующие уравнения материального баланса:
, , (1.10) |
при начальных условиях , , .
Для моделей с сосредоточенными параметрами характерно постоянство переменных в пространстве. Их математическое описание включает алгебраические уравнения аналогичные уравнению (1.9) либо дифференциальные уравнения аналогичные уравнению (1.10) первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, описываемого данной моделью, может также служить аппарат идеального перемешивания.
У моделей с распределенными параметрами переменные процесса изменяются и во времени, и в пространстве, или только в пространстве. Их математическое описание обычно включает дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной переменной. Примером процесса, описываемого такими моделями, являются трубчатые аппараты с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения потока.