- •Моделирование химико-технологических процессов
- •Оглавление
- •Введение, основные понятия и определения
- •1. Методы моделирования и область их применения
- •1.1. Физическое моделирование (фм)
- •1.2. Математическое моделирование (мм)
- •2. Основные принципы и направления при построении и решении математических моделей
- •2.1. Составление математической модели
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
- •4. Типовые модели структуры потока
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.3. Ячеечная модель
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих моделям ип и ив
- •5. Методы статистического анализа эксперимента
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, распределение Стьюдента
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины
- •5.7. Проверка однородности результатов измерений
- •6. Планирование эксперимента
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.2. Выбор области проведения эксперимента
- •6.3. Полный факторный эксперимент (пфэ)
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •7. Оптимизация эксперимента
- •8. Планы второго порядка
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Список литературы
- •Приложение 1. Квантили нормального распределения
- •Приложение 2. Квантили распределения Пирсона
- •Приложение 3. Значения параметра для различных уровней значимости и степеней свободы
- •Приложение 4. Квантили распределения Стьюдента
- •Приложение 6. Пример использования модели ип для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Приложение 7. Примеры использования типовых моделей для описания процесса теплообмена
- •Лицензия лр № 020370
Введение, основные понятия и определения
Одной из основных задач химической технологии является создание новых высокоэффективных процессов и совершенствование уже действующих. Решение такой задачи возможно только с помощью методов математического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов.
В пособии изложены методы физического и математического моделирования. Наиболее подробно представлено математическое моделирование с использованием типовых моделей химической технологии: идеального перемешивания; идеального вытеснения; ячеечной, ячеечной с рециркуляцией, диффузионной. Приведены основы статистического анализа и методы планирования эксперимента.
Цель пособия – показать на конкретных примерах способы создания математических моделей и их использования при решении инженерных и научных задач.
Основные понятия и определения
Под моделированием понимают процесс создания модели, ее исследование и распространение результатов исследования на оригинал. Оригиналом называют интересующий нас объект, моделью – изучаемый нами объект. При этом модель является лишь аналогом оригинала и не более того.
Цель моделирования – определение оптимальных условий протекания процесса.
Область применения моделирования: научные исследования; проектирование новых и совершенствование действующих процессов, аппаратов и производств.
Применение моделирования позволяет осуществить:
– оптимальное проектирование новых и оптимизацию действующих процессов;
– ускорение переноса результатов исследований на производство;
– решение задач исследования и реализация процессов, которые другими методами реализовать не удается.
1. Методы моделирования и область их применения
Все методы моделирования базируются на подобии оригинала и его модели. Под подобием понимают условия, при которых возможно количественное распространение результатов эксперимента с модели на оригинал. Подобие бывает физическим и математическим. В соответствии с этим в научных и инженерных исследованиях различают физическое и математическое моделирования.
1.1. Физическое моделирование (фм)
Под физическим моделированием понимают метод исследования на моделях, имеющих одинаковую с оригиналом физическую природу и воспроизводящих весь комплекс свойств изучаемых явлений. Самым наглядным примером такой модели является лабораторная установка.
Физическое моделирование базируется на физическом подобии, которое подразумевает геометрическое подобие, подобие скоростей, сил, сред и т.д. Научной основой физического моделирования является теория подобия. В химической технологии теория подобия распространена чрезвычайно широко и студентами химико-технологических специальностей изучается в курсе «Процессы и аппараты химической технологии».
Преимущества ФМ:
– полное воспроизводство процесса;
– наглядность процесса;
– возможность регистрации наблюдений без преобразующих устройств;
– изучение явлений, не поддающихся математическому описанию.
Недостатки ФМ:
– для исследования каждого нового процесса необходимо создавать новую модель;
– изменение параметров оригинала часто требует физической переделки или полной замены модели;
– высокая стоимость изготовления моделей сложных объектов;
– в ряде случаев имеются ограничения или оно вообще не применимо.
Последний недостаток проявляется, например, для систем с протеканием химических реакций, так как результат их протекания находится в сложной зависимости от геометрических размеров аппаратов и кинетических закономерностей процесса.
Рассмотрим два примера на применение теории подобия в физическом моделировании.
При строительстве оросительного канала требуется предсказать места наиболее вероятного отложения осадка. Для этого необходимо знать распределение скоростей потока в различных его сечениях. Канал является крупным гидротехническим сооружением и поэтому перед строительством необходимо провести исследование его характеристик на модели. Параметры модели, при которых она будет подобной оригиналу, можно определить с помощью теории подобия. Чтобы выполнялись условия геометрического и гидродинамического подобия между оригиналом и моделью необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство критериев Рейнольдса в паре сходственных точек
(1.1) |
где W1,2 – скорость потока; L1,2 – характерный размер и – кинематическая вязкость жидкости (индекс 1 соответствует оригиналу, 2 – модели).
При использовании одинаковых жидкостей получим
(1.2) |
т.е., чтобы выполнялось подобие, отношение скоростей в оригинале и модели должно быть обратно пропорционально отношению их геометрических размеров.
Однако применение теории подобия не всегда бывает удачным. Рассмотрим второй пример, где требуется смоделировать распределение жидкости в оросителе насадочной колонны типа «плита». Главный показатель хорошей работы оросителя – равномерное распределение жидкости между различными патрубками. Предположим, что диаметр оригинала L1 =6, а модели L2 = 1,5 (м). В данном случае на движение жидкости кроме сил вязкости будет оказывать влияние и сила тяжести, характеризуемая критерием Фруда. Поэтому условия подобия, кроме равенства критериев Рейнольдса, должны удовлетворять и равенству критериев Фруда в паре сходственных точек.
(1.3)
С целью облегчить создание подобия модели и оригинала введем дополнительные условия: и тогда выражения (1.3) примут вид
(1.4) |
Система (1.4) имеет единственное решение L1 = L2, что делает бесполезным моделирование.
Попробуем добиться подобия, меняя вязкость жидкости, то есть введя ограничения только на g1 = g2. В данном случае система (1.3) примет вид
(1.5) |
Решением системы является формула
. (1.6) |
Это значит, что для модели вчетверо меньшей оригинала должна быть использована жидкость с вязкостью в 8 раз меньшей, чем у воды. Найти такую жидкость практически невозможно.
Попробуем решить задачу, изменяя g. Для этого модель потребуется поставить в центрифугу. Убедившись, что замена жидкости ничего не дает, оставим условие . Тогда из условия (1.3) получим
(1.7) |
Решение системы имеет вид
(1.8) |
т.е. если L1/L2 = 10 (для меньшего соотношения не найти центрифугу), то центрифуга должна создавать ускорение 1000 g1, что превышает ее технические возможности.
Таким образом, усложнение задачи путем ввода второго условия подобия привело к практической невозможности построения модели, подобной оригиналу. Когда критериев более двух, то подобия модели и оригинала добиться еще сложнее. Этот недостаток в значительной мере ограничивает применение теории подобия для моделирования процессов и аппаратов химической технологии.