- •Моделирование химико-технологических процессов
- •Оглавление
- •Введение, основные понятия и определения
- •1. Методы моделирования и область их применения
- •1.1. Физическое моделирование (фм)
- •1.2. Математическое моделирование (мм)
- •2. Основные принципы и направления при построении и решении математических моделей
- •2.1. Составление математической модели
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
- •4. Типовые модели структуры потока
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.3. Ячеечная модель
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих моделям ип и ив
- •5. Методы статистического анализа эксперимента
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, распределение Стьюдента
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •5.6. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины
- •5.7. Проверка однородности результатов измерений
- •6. Планирование эксперимента
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.2. Выбор области проведения эксперимента
- •6.3. Полный факторный эксперимент (пфэ)
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •7. Оптимизация эксперимента
- •8. Планы второго порядка
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Список литературы
- •Приложение 1. Квантили нормального распределения
- •Приложение 2. Квантили распределения Пирсона
- •Приложение 3. Значения параметра для различных уровней значимости и степеней свободы
- •Приложение 4. Квантили распределения Стьюдента
- •Приложение 6. Пример использования модели ип для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Приложение 7. Примеры использования типовых моделей для описания процесса теплообмена
- •Лицензия лр № 020370
3. Математическое описание структуры потока в аппарате – основа построения моделей
Известно, что гидродинамическая структура потока в аппарате существенно определяет эффективность и завершенность химико-технологических процессов. При этом математическая модель структуры потока является основой, на которой строится математическое описание всего химико-технологического процесса. Однако поведение потока в аппарате является настолько сложным, что в большинстве случаев не поддается строгому математическому описанию. Следовательно, необходимо найти такой параметр оценки структуры потока, который, не вдаваясь в математические подробности, позволил бы качественно его охарактеризовать. Одним из таких параметров является функция распределения по времени пребывания (РВП) частиц потока в аппарате рис. 3.1.
Рис. 3.1. Функция распределения по времени пребывания частиц потока в аппарате
Функция РВП отражает время пребывания различных долей потока в аппарате и, следовательно, характеризует длительность взаимодействия компонентов реакционной смеси.
Если известен явный вид функции РВП и кинетические закономерности процесса, то, составив математическую модель, легче определить оптимальные условия его протекания.
Характер функции РВП определяется неравномерностью потока в аппарате, имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распределением.
Наиболее существенными источниками неравномерности потока являются:
– неравномерность профиля скоростей;
– турбулизация потока;
– наличие застойных зон;
– каналообразование, перекрестные и байпасные токи;
– температурные градиенты движущихся сред;
– тепло- и массообмен между фазами и т.д.
Рассмотрим наиболее распространенные экспериментальные методы исследования структуры потоков.
3.1. Методы исследования структуры потоков
Сущность указанных методов заключается в том, что на входе потока в аппарат вводят индикатор, а на выходе измеряют его концентрацию как функцию времени. Полученная выходная кривая называется функцией отклика системы на типовое возмущение по составу потока. В качестве индикаторов обычно используются красители, растворы солей и кислот, изотопы и др. вещества.
Индикатор должен соответствовать следующим требованиям:
– поведение частиц индикатора в аппарате должно быть подобно поведению частиц потока;
– индикатор не должен взаимодействовать со средой;
– должен легко измеряться.
В зависимости от способа подачи индикатора различают три основных метода исследования структуры потоков: импульсный; ступенчатый; циклический.
Импульсный метод
В соответствии с импульсным методом на входе потока в аппарат, практически мгновенно, в виде дельта функции, вводят определенное количество индикатора. Тогда возмущающий сигнал и кривая отклика будут иметь следующий вид (рис. 3.2).
Если обозначить объемный расход потока через , а экспериментальную функцию отклика, представляющую собой концентрацию индикатора на выходе потока из аппарата как функцию времени t через Сэ(t), то количество индикатора, время пребывания которого в аппарате изменяется от t до t + dt, составит
, (3.1)
а отношение dG ко всему количеству индикатора G выразит долю индикатора, вышедшего из аппарата за то же самое время:
Рис. 3.2. Кривая отклика на импульсное возмущение
, (3.2) |
где G можно определить как
. (3.3) |
Тогда, подставив значение G из уравнения (3.3) в уравнение (3.2), получим
, (3.4) |
где выражение
(3.5) |
задает нормированную С-кривую.
Так как поведение индикатора в аппарате идентично поведению основного потока, то выражения (3.2) и (3.4) представляют собой долю потока, время пребывания которого изменяется от t до t + dt.
Одной из основных характеристик кривой распределения является среднее время пребывания потока в аппарате,
. (3.6) |
С учетом формул (3.4) – (3.6) получим
. (3.7) |
Использование полученной функции отклика в натуральных значениях координат Cэ(t) – t не всегда бывает удобным для расчетов, поэтому кривую отклика обычно приводят к безразмерному виду и называют С-кривой.
Здесь – безразмерное время,
; (3.8) |
а – безразмерная концентрация,
, (3.9) |
где – начальная концентрация индикатора в потоке,
, (3.10) |
здесь – объем аппарата.
Среднее время пребывания потока в аппарате можно также представить в виде отношения объема аппарата V к объемному расходу потока,
. (3.11) |
Установим связь между dR и C(). Для этого умножим и разделим правую часть уравнения (3.2) на и с учетом уравнений (3.8) – (3.11) получим
, (3.12) |
где
. (3.13) |
Таким образом
. (3.14) |
Теперь найдем связь между . На основании уравнений (3.4 – 3.14) имеем
. (3.15) |
Если построить экспериментальную кривую в нормированных координатах, то доля потока, пребывающего в аппарате в течение времени от 0 до , будет определяться по формуле
(3.16) |
естественно, что
. (3.17) |
Таким образом, С-кривая является характеристикой распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате.
Ступенчатый метод
В соответствии со ступенчатым методом концентрацию индикатора на входе потока в аппарат меняют скачкообразно от нуля до некоторого значения (или от некоторого значения до нуля) и в дальнейшем оставляют неизменной.
Кривая отклика при этом имеет вид, представленный на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Кривая отклика на ступенчатое возмущение
Если выразить данную зависимость в безразмерных координатах , то она будет называться F-кривой, где
. (3.18) |
В данном случае доля элементов потока, время пребывания которых находится в пределах от до + d, составит
, (3.19) |
а доля элементов потока со временем пребывания от 0 до
. (3.20) |
Так как сумма всех долей жидкости в аппарате равна 1, то площадь под С-кривой равна 1 и при , т.е.
. (3.21) |
Среднее время пребывания потока в аппарате
. (3.22) |
Проинтегрировав полученное выражение по частям, получим
. (3.23) |
Окончательно среднее время пребывания потока выразится через функцию F следующим образом:
. (3.24) |
Геометрически среднее время пребывания потока соответствует площади над кривой F(t).
Циклический метод
При циклическом методе концентрацию индикатора на входе потока в аппарат изменяют по синусоидальному закону. В этом случае функция отклика тоже представляет собой синусоиду, но имеющую другую амплитуду и сдвинутую по фазе (рис. 3.4).
С помощью циклического метода можно определить коэффициент обратного перемешивания потока. Организовать подачу индикатора подобным образом сложнее, поэтому данный метод менее распространен.
Рис. 3.4. Кривая отклика на циклическое возмущение