2.2. Нахождение решения математической модели

Как правило, решение модели представляет наиболее сложную задачу, когда ее математическое описание получено в дифференциальной форме. Если аналитического решения нет или оно затруднено, то для получения результата используют численные методы.

Рассмотрим пример решения численным методом уравнения движения частицы в условиях переменной скорости потока. Ранее нами было получено уравнение (2.6), устанавливающее функциональную связь между параметрами потока, характеристиками частицы и высотой ее подъема в сепарационном пространстве аппарата. Перепишем это уравнение с учетом непостоянства коэффициента сопротивления и скорости потока по высоте зоны сепарации:

, (2.10)

где – коэффициент сопротивления как функция скорости частицы относительно потока; – текущая скорость потока как функция высоты подъема частицы, например в диффузоре.

Составим алгоритм решения приведенной модели для случая, когда сепарационная зона аппарата кипящего слоя выполнена в форме диффузора круглого поперечного сечения. Предварительно уравнение (2.10) приведем к следующему виду:

, (2.11)

где, в отличие от ранее разобранного примера, скорость потока зависит от текущей высоты диффузора,

, (2.12)

здесь V – объемный расход потока газа; r – меньший радиус диффузора,  и Н – угол раскрытия диффузора и высота подъема частицы соответственно.

Для решения уравнения (2.11) выберем один из самых простых методов – метод Эйлера. Обозначим правую часть уравнения (2.11) через f(W, H), тогда в соответствии с принятым методом можно написать

. (2.13)

Алгоритм решения уравнения (2.13) будет следующим:

1. Задание исходных значений и граничных условий:

W_п0, W₀, W_в, W_п(H), H₀, dH, _в, ;

W_п = W_п0 и W = W₀ при H = H₀ = 0;

W = 0 при H = H_max;

2. Определение нового значения скорости частицы W = W + + f(W, H)dH;

3. Определение нового значения высоты подъема частицы H = = H + dH;

4. Проверка условия W  0, если условие выполняется, то переход к п.5, в противном случае переход к п.2;

5. Выход.

2.3. Проверка моделей на адекватность

Математическая модель объекта является лишь его аналогом, поэтому значения переменных, полученные на объекте и модели, различаются. В связи с этим возникает задача установления близости модели реальному объекту, т.е. ее адекватности.

Одним из критериев оценки адекватности однооткликовых моделей является критерий Фишера F.

, (2.14)

где – дисперсия адекватности, характеризующая разброс между экспериментальными и расчетными значениями параметра оптимизации; – дисперсия воспроизводимости, характеризующая разброс (относительно среднего) значений параметра оптимизации в параллельных опытах.

Если проведено n не параллельных опытов, а для получения дисперсии воспроизводимости проделана серия из m параллельных опытов, то

, , (2.15)

здесь

, , (2.16)

где f_ад и f_вос соответственно число степеней свободы дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости; – количество факторов, у – расчетное значение параметра оптимизации; – среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,

. (2.17)

Расчетное значение F сравнивают с F_кр критическим значением (приложение 5). Если F < F_кр, модель адекватна, в противном случае – нет.

Рассмотрим пример на определение адекватности модели.

Имеются экспериментальные значения фактора х_i и параметра оптимизации (табл. 2.1), а также уравнение регрессии, полученное в результате их обработки, y = 1,2 + 0,8x. Для оценки дисперсии воспроизводимости было поставлено четыре параллельных опыта при значениях фактора x = 0 (табл. 2.2).

Таблица 2.1

Результаты эксперимента

Nоп	1	2	3	4	5
xi	–2	–1	0	1	2
	0	0	1,0	2,0	3,0

Таблица 2.2

Результаты параллельных опытов

Nоп	1	2	3	4
	0	0	0	0
	0,8	0,9	1,0	1,3

Требуется проверить полученное уравнение на адекватность.

Решение

Подставив значения фактора х в уравнение регрессии, определим расчетные значения параметра оптимизации: :(–0,4; 0,4; 1,2; 2,0; 2,8).

По формуле (2.17) определим среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,

,

где m количество параллельных опытов, равное четырем.

По формулам (2.15) вычислим значения дисперсий адекватности и воспроизводимости:

, ,

где ; ; n = 5; l = 1.

По формуле (2.14) определим расчетное значение критерия Фишера и сравним его с критическим значением, взятым по таблице в приложении 5 для f_ад = 3; f_вос = 3 и 5 %-го уровня значимости, принимаемого в химико-технологических расчетах.

Вывод – уравнение регрессии адекватно описывает процесс.