2. Основные принципы и направления при построении и решении математических моделей

В ходе математического моделирования всегда приходится решать три основные задачи:

– составление модели;

– нахождение решения модели;

– проверку модели на адекватность.

Рассмотрим последовательно все три задачи.

2.1. Составление математической модели

Составление математических моделей осуществляют в соответствии с двумя взаимно перекликающимися аспектами: смысловым и аналитическим. Смысловой аспект представляет физическое описание объекта, аналитический – математическое описание объекта. Первичным, как правило, является физическое описание объекта. При этом выделяют протекающие в объекте «элементарные» процессы, формулируют основные допущения, принимаемые для их описания, и описывают. В данном случае под «элементарным» процессом понимают физико-химический процесс, относящийся к определенному классу явлений, например массообмен, теплопередача и т.п. Обычно при математическом моделировании принимают во внимание следующие «элементарные» процессы:

– движение потоков фаз;

– массообмен между фазами;

– теплопередачу;

– изменение агрегатного состояния;

– химические превращения и др.

Полнота рассмотрения «элементарных» процессов зависит от их роли, степени изученности и глубины взаимосвязи в общем процессе, а также желаемой точности описания. Взаимосвязь может быть очень сложной, поэтому на практике обычно делают различные упрощающие модель допущения. Например, при физическом описании процесса ректификации выделяют следующие «элементарные» процессы:

– гидродинамику потоков жидкости и пара в колонне;

– массообмен между жидкостью и паром;

– теплопередачу между жидкостью и паром;

– испарение жидкости и конденсацию пара.

Математическое описание объекта обычно начинают с математического описания «элементарных» процессов. Если есть необходимость, проводят эксперименты в условиях, максимально приближенных к условиям эксплуатации.

Как правило, сначала исследуют гидродинамическую модель процесса, являющуюся основой структуры математического описания всего объекта, затем кинетику химических реакций, процессы массо-, теплообмена и т.д. После этого с учетом гидродинамических условий составляют математические описания каждого из этих процессов. Заключительным этапом создания модели является объединение математических описаний «элементарных» процессов в единую систему уравнений математического описания всего объекта.

Составление математических моделей в зависимости от реальных условий может производиться различными методами: аналитическим (на основе данных полученных ранее), экспериментальным и экспериментально-аналитическим. Рассмотрим их последовательно.

Аналитический метод

Этот метод заключается в том, что вывод уравнений математического описания осуществляется на основании теоретического анализа физических и химических закономерностей протекания процесса, конструктивных параметров аппаратуры и свойств перерабатываемых веществ.

При выводе уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, кинетические закономерности протекания химических процессов, процессов тепло-, массопереноса и других.

Аналитический метод используется для составления моделей только хорошо изученных процессов и не требует проведения экспериментов.

Недостатком этого метода является сложность решения полученных уравнений в случае сравнительно полного описания объекта.

Рассмотрим пример составления математического описания аналитическим методом. Пусть требуется получить математическую модель, описывающую закономерности движения частицы твердого материала в сепарационной зоне аппарата с кипящим слоем в зависимости от условий обтекания потоком.

Движение дисперсного материала в сепарационной зоне аппарата с кипящим слоем осуществляется в условиях восходящего потока газа, имеющего относительно низкую концентрацию твердой фазы. Для упрощения модели примем несколько допущений: взаимодействие между частицами материала отсутствует; частицы имеют шарообразную форму и движутся по прямолинейным траекториям; действующие на частицы силы, кроме сил тяжести и сопротивления, пренебрежимо малы; скорость потока во всех точках поперечного сечения аппарата равна средней скорости потока.

Выделим «элементарные» процессы. С учетом принятых допущений таких процессов два: гидродинамическое взаимодействие частицы с восходящим потоком газа и взаимодействие с гравитационным полем земли. Проанализируем физические закономерности подъема частицы в зоне сепарации, скорость витания которой больше скорости потока. В начальный момент времени, вылетая из слоя под гидродинамическим воздействием струй газа, частица обладает скоростью и соответственно кинетической энергией . При движении частицы вверх, под действием сил сопротивления и тяжести , скорость и кинетическая энергия частицы уменьшаются и в точке максимального подъема становятся равными нулю: и .

Рассмотрим элементарный участок пути dH, на котором скорость частицы изменится на величину , а кинетическая энергия на величину , равную

. (2.1)

Изменение кинетической энергии произойдет в результате выполнения работы по преодолению сил сопротивления и тяжести,

, (2.2)

где m, S – масса и площадь миделева сечения частицы соответственно.

, , (2.3)

здесь – коэффициент сопротивления частицы; – текущая скорость частицы; – средний диаметр частицы; – удельная плотность потока газа и частицы соответственно; W_п – средняя скорость потока газа; g – ускорение силы тяжести.

Приравняв правые части уравнений (2.1) и (2.2), с учетом выражений (2.3), получим

. (2.4)

Умножим и разделим дробь в квадратных скобках на коэффициент сопротивления частицы в условиях витания . Тогда с учетом зависимости скорости витания от параметров процесса и частицы

, (2.5)

получим

. (2.6)

Уравнение (2.6) хорошо поясняет физическую сущность процесса. Видно, что изменение скорости частицы пропорционально величине g, а также зависит от соотношения сил сопротивления в текущих условиях (числитель) и условиях витания (знаменатель). Решим это уравнение для условий ламинарного режима обтекания частицы потоком газа. В этом случае и , где Re и Re_в значения критериев Рейнольдса соответственно для текущих условий и условий витания. Подставив значения  и в уравнение (2.6), получим

, (2.7)

разделив переменные, будем иметь

(2.8)

Сделав несколько преобразований и выполнив подстановку

(2.9)

, (2.10)

получим решение интеграла для случая W_к = 0

(2.11)

. (2.12)

где .

Определив W_н и вычислив W_в с помощью хорошо известных из курса ПАХТ формул, по уравнению (2.12) можно легко найти максимальную высоту подъема частицы в условиях ламинарного режима.

Экспериментальный метод

Этот метод заключается в опытном определении функциональной зависимости между исходными параметрами и результатами процесса. Обычно такой подход используется для относительно узкого интервала изменения входных и выходных переменных. Достоинством экспериментальных методов является простота получения математического описания при достаточно точном описании свойств оригинала. К недостаткам относятся невозможность установления физической сущности процесса и невозможность распространения полученных эмпирических зависимостей на другие однотипные объекты.

Экспериментальные методы составления математического описания используются тогда, когда об объекте имеется мало теоретических сведений и основным источником данных является эксперимент, при этом экспериментатору доступен лишь контроль (иногда управление) над входными и выходными параметрами. В таких случаях говорят, что объект исследования является «черным ящиком». Другими словами, под «черным ящиком» подразумевают объект исследования, в котором для контроля доступны лишь входные и выходные параметры, а его внутренняя структура неизвестна (рис. 2.1.)

Рис. 2. 1. Принципиальная схема «черного ящика»

Входные параметры X называются факторами, в ходе проведения эксперимента они могут принимать различные значения, которые задаются исследователем либо устанавливаются пассивно. Значения, принимаемые факторами, называются уровнями их варьирования. Например, на приведенном ниже рисунке фактор X₁ имеет 5 уровней варьирования.

Х₁(1) Х₁(2) Х₁(3) Х₁(4) Х₁(5)

Рис. 2.2. Уровни варьирования фактора X₁

Выходные параметры Y называются параметрами оптимизации и зависят от факторов. В общем случае количество факторов не равно количеству параметров оптимизации.

Когда требуется изучить влияние одного фактора на параметры оптимизации, затруднений, как правило, не возникает ни с проведением опытов, ни с математической обработкой данных, полученных в результате эксперимента.

Например, требуется изучить влияние расхода теплоносителя на интенсивность теплопередачи и гидравлическое сопротивление теплообменника сложной формы (пластинчатый, спиральный и т.п.). В этом случае фактором будет расход теплоносителя G (тн/ч), уровнями – принимаемые значения данного фактора: 1, 2, ..., 10 , а параметрами оптимизации температура нагреваемого хладоагента Т (°С) и гидравлическое сопротивление аппарата Н (МПа).

В результате проведения эксперимента мы получим некоторые эмпирические зависимости параметров оптимизации от значений задаваемого фактора Y₁ = f₁(X) и Y₂ = f₂(X) (рис. 2.3). Уравнения, описывающие эти зависимости, будут называться функциями отклика объекта на задаваемое возмущение.

Рис. 2.3. Зависимость параметров оптимизации от задаваемых значений факторов

Намного сложнее получить функцию отклика и провести эксперимент, когда требуется изучить влияние на процесс нескольких факторов одновременно. Так как, во-первых, резко возрастает количество опытов, равное N = n^k, где k – количество задаваемых факторов, а n – количество принимаемых ими уровней. Например, при исследовании процесса пневмоклассификации обычно требуется изучить влияние, как минимум, четырех факторов: скорость газа; расход материала; скорость витания и какой-нибудь конструктивный параметр аппарата. Тогда, если мы хотим исследовать каждый фактор на 5 уровнях, т.е. при 5 различных значениях, то количество опытов будет равно N = 5⁴ = 625, что не всегда реально. Во-вторых, возрастает сложность математической обработки полученных многофакторных зависимостей. Поэтому, когда факторов несколько, эксперимент проводят на основе законов математической статистики и называют статистическим экспериментом. При наличии необходимой информации о факторах и параметрах оптимизации, законы статистики позволяют построить математическую модель, которая представляет собой уравнение связи между входными и выходными параметрами. Количество опытов при этом может быть резко сокращено, без значительного снижения точности получаемой модели. Например, для 6-факторного эксперимента на 5 уровнях варьирования факторов, чтобы полностью перебрать все возможные комбинации, требуется провести N = 5⁶ = 15625 опытов, а при соблюдении требований статистики может оказаться достаточным 25. Более подробно получение многофакторных эмпирических зависимостей будет рассматриваться в разделе планирование эксперимента.

Экспериментально-аналитический метод

Этот метод учитывает сильные и слабые стороны аналитического и экспериментального методов. Его сущность заключается в том, что математическая модель составляется аналитическим методом, а ее параметры определяются экспериментально.

Следует отметить, что сразу определить выбор метода обычно не удается и на практике приходится пробовать несколько вариантов.