2.3. Теплопроводность при нестационарном режиме
В практике расчетов и исследований нагрева (охлаждения) изделий используются различные методы решения уравнения теплопроводности. В частности, среди аналитических методов широко распространен метод разделения переменных (метод Фурье), операционные методы, использующие те или иные интегральные преобразования, а также метод источников. Среди численных методов в практике наиболее часто используют метод конечных разностей. При выполнении технических расчетов пользуются приближенными методами решения задач теплопроводности.
2.3.1. Решение задач нестационарной теплопроводности методом разделения переменных
Рассмотрим решение дифференциального уравнения теплопроводности методом разделения переменных. В соответствии с этим методом решение уравнения
(2.46)
находится в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одного из параметров, то есть
(2.47)
Дифференциалы этой функции по времени и координате равны:
;
и
(2.48)
Подставляя соотношение (2.48) в (2.45) получим:
Разделяя переменные, имеем:
(2.49)
В левой части этого равенства стоит выражение, зависящее только от времени, а в правой только от координаты.
Известно, что две
функции от двух различных и не зависящих
друг от друга параметров равны, если
каждая из них равна некоторой постоянной
величине. Обозначим эту постоянную
,
тогда:
,
Получим
вместо одного дифференциального
уравнения в частных производных два
дифференциальных уравнения с обычными
производными для определения функций
и
.
В этом и заключается метод разделения
переменных.
или
Для решения первого уравнения, разделим переменные и про интегрируем его
;
;
;
;
(2.50)
Решение второго уравнения, известного как уравнение свободных колебаний, имеет вид:
(2.51)
В этих уравнениях С1, С2, С3 – произвольные постоянные.
Подставляя (2.50) и (2.51) в уравнение (2.47) получим:
Обозначим С1С2 =С и С1С3 =D, тогда
(2.52)
Это общий вид
решения дифференциального уравнения
Фурье при любых краевых условиях.
Конкретное решение уравнения определяется
постоянными интегрирования C,
D и
.
Их значения зависит от краевых условий
задачи.
При симметричном
нагреве распределение температур в
пластине должно быть симметричным в
любой момент времени. Это означает, что
замена (х) на (-х) в решении не
должна отражаться на его результате,
что характерно для четных функций.
Однако входящая в решение (2.52)
является
нечетной функцией, что и определяет
равенство нулю коэффициента D.
Таким образом, решение уравнения для любой симметричной задачи следует искать в виде:
(2.53)
Произвольные
постоянные C и
,
входящие в это уравнение, определяются
граничными и начальными условиями
задачи.
Рассмотрим решение задачи при граничных условиях третьего рода, когда температура греющей среды постоянная. Словесная постановка задачи представляется следующим образом:
Неограниченная толстая пластина толщиной 2R симметрично нагревается за счет конвективного теплообмена от окружающей среды, имеющей постоянную температуру tс, к её поверхности (рис. 2.9). В начальный момент времени температура пластины, постоянная по её толщине и равна t0.
Запишем математическую формулировку этой задачи:
Рис. 2.9. Температурное поле в пластине при граничных условиях третьего рода
Введем
понятие избыточной температуры
.Для
этой новой переменной математическая
формулировка задачи перепишется в виде
(2.54)
(2.55)
(2.56)
Так как уравнение для избыточной температуры (2.54) имеет такой же вид, как и уравнение для абсолютной температуры, решение будем искать в виде:
, (2.57)
где
постоянные C и
будем
искать из краевых условий (2.55) и (2.56).
Вначале используем граничное условие
(2.56). Подставляем решение (2.53) в уравнение
(2.56), получим:
После сокращения получаем:
(2.58)
Таким образом,
получено уравнение, из которого можно
найти одну из определяемых констант
.
Однако удобно находить не саму
,
а произведение
,
которое обозначим через
.
Безразмерный комплекс
обозначим Bi (
),
тогда уравнение (2.58) принимает вид:
(2.59)
Это уравнение
является трансцендентным и поэтому для
определения
требует графического решения. Обозначим
левую часть уравнения (2.59)
,
а правую
и
построим графики этих функций (рис.
2.10).
и
.
Первый из этих
графиков представляет собой котангенсоиду,
являющейся периодической функцией
аргумента
с периодом
,
а вторая прямую линию с угловым
коэффициентом 1/Bi. Абсциссы
точек пересечения этих графиков дают
корни уравнений (2.59).
Как видим уравнение
(2.59) имеет бесчисленное множество
значений корней
(или
констант
),
удовлетворяющих уравнения (2.54) и (2.56).
Это означает, что имеется бесчисленное
множество частных решений уравнения
(2.54) с граничным условием (2.56), сумма
которых является его общим решением:
Рис. 2.10. Графическое решение характеристического уравнения
или
так как
,
получим
.
Обозначив
;
,
имеем
(2.60)
В решении (2.60)
неизвестными являются константы
,
значение которых определим из начального
условия, согласно которому
или
.
В этом случае уравнение (2.60) принимает
вид:
.
Это уравнение
представляет собой разложение величин
в ряд с заданными значениями
,
определяемыми уравнением
.
Умножив обе части
последнего равенства на
после интегрирования в пределах –R
до +R, получим
Из условий ортогональности функций следует, что все интегралы правой части равны нулю за исключением одного, тогда m=n. Таким образом
(2.61)
Общее решение задачи принимает вид:
(2.62)
Конкретный вид решения получен для неограниченной пластины, однако в таком же виде, то есть в виде уравнения (2.62), получается решение для тел любой другой геометрической формы. Изменяется лишь смысл, вкладываемый в понятие «характерный размер». Например, если в случае плоской пластины роль характерного размера играла толщина пластины, то в случае цилиндра и шара роль характерного размера играет радиус.
Для удобства практического использования общего решения задачи, являющегося суммой бесконечного ряда, строят вспомогательные графики, представляющие функции
.
Графики построены отдельно для пластины, бесконечного цилиндра и шара, а также для двух значений безразмерной координаты X=0 (центра пластины, цилиндра и шара) и Х=1 (поверхности пластины, цилиндра и шара).
Прежде чем перейти
к исследованию полученного решения
рассмотрим физический смысл безразмерного
комплекса
названного числом подобия Био (Bi):
Интенсивность
внутреннего теплообмена Интенсивность
внешнего теплообмена
С другой стороны это число подобия можно представить как
Внутреннее
тепловое сопротивление Внешнее
тепловое сопротивление
Обе формулировки позволяют заключить, что характер распределения температуры в объеме тела определяется величиной числа Био. Чем больше эта величина, тем больше интенсивность внешнего теплообмена по сравнению с интенсивностью внутреннего или, что-то же тем больше внутреннее тепловое сопротивление по сравнению с наружным.
В связи с этим большим значениям числа Био должна соответствовать большая неравномерность распределения температур в объеме тела. И наоборот, чем меньше число Био, тем равномернее распределение температуры в объеме тела на протяжении всего периода нагрева так как, например, подводимый к поверхности тепловой поток в этом случае весьма интенсивно отводится к внутренним слоям тела.
Для того, чтобы
доказать справедливость только, что
высказанных заключений о влиянии числа
Био на процесс нагрева при граничных
условиях III рода,
проанализируем полученное решение для
пластины то есть рассмотрим, к чему
сводится это решение при очень малых
значениях Био (
) и при очень больших его значениях Био
(
).