3.2. Элементы теории подобия

Теория подобия дает ответы на следующие вопросы:

• Какие явления считаются подобными.

• Что характерно для подобных явлений.

• Как обрабатывать результаты опытов.

• Каковы условия моделирования явлений.

Изучаемые процессы большей частью являются сложными, состоящими из простых процессов. Простой процесс описывается своим характерным уравнением в основном дифференциальным. Следовательно, сложные явления описываются системой дифференциальных уравнений.

Все явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, составляют класс явлений.

Применительно к конкретному явлению эти уравнения должны рассматриваться с учетом условий однозначности. Решение дифференциального уравнения с условиями однозначности описывает единичное явление. Однако класс явлений можно сузить до группы подобных явлений, условия однозначности для которых подобны.

Явления и процессы, описываемые системой уравнений с подобными условиями однозначности, составляют группу подобных явлений.

В рамках группы подобных явлений результаты единичного опыта могут быть распространены на все многообразие подобных явлений, составляющих группу. Следует выяснить каковы эти условия, а также желательно снизить размерность описания изучаемого явления. Размерность описания явления или проще количество переменных можно уменьшить, объединяя их в комплексы. Причем, количество комплексов будет меньше, чем переменных.

Вид безразмерного комплекса устанавливается из аналитического описания процесса или с привлечением теории размерности. Условия подобия явлений устанавливаются первой теоремой подобия: для подобных явлений безразмерные комплексы, составленные определенным образом из величин, входящих в уравнение процесса, имеют одно и тоже значение.

Безразмерные комплексы называют еще числами подобия. Числа подобия можно рассматривать как новые переменные. Введенные в уравнение физических процессов чисел подобия формально сокращает число переменных, что упрощает исследование. Правомерность этого положения подтверждается второй теоремой подобия: для сложного явления связь между отдельными первичными переменными можно представить зависимостью между числами подобия (вторичными переменными), характерными для процессов, составляющих явление.

Вторая теорема подобия дает ответ на вопрос, как обрабатывать результаты опытов. Результаты единичного опыта нужно обрабатывать в числах подобия и зависимости между ними представить в виде уравнений подобия.

На вопрос каковы условия моделирования явления дает ответ первая теорема подобия – числа подобия у образца и модели должны иметь одно и то же значение.

3.2.1. Числа гидродинамического подобия

Получить выражение для чисел подобия можно исходя из физического истолкования критериев как соотношения сил (энергий), определяющих закономерности рассматриваемого явления.

Для вывода чисел гидродинамического подобия необходимо выполнить операцию приведения операторов, заключающуюся в распространении дифференциальных операций на конечные объемы пространства и конечные интервалы времени. Для градиента температуры, характеризующего изменение параметра на единицу длины, операция приведения выглядит следующим образом:

; ;

Для оператора Лапласа, характеризующего сумму вторых производных по пространственным координатам, получим:

;

Для операции дифференцирования по времени:

Уравнение движения (Навье-Стокса) выводится на основе рассмотрения динамического равновесия элемента жидкости, которое характеризуется равенством нулю геометрической суммы действующих на него сил: сила тяжести , сила давления , сила вязкости , сила инерции .

.

. (3.3)

Числа подобия получим в результате деления пар сил из уравнения Навье-Стокса и использования операций приведения операторов:

. (3.4)

Число подобия Эйлера показывает соотношение сил давления и сил инерции в потоке.

. (3.5)

Число подобия Рейнольдса показывает соотношение сил инерции и сил вязкости.

. (3.6)

Число подобия Фруда показывает соотношение сил инерции и сил тяжести.

. (3.7)

Число подобия Лагранжа показывает соотношение сил давления и сил инерции.

Есть простые и сложные числа подобия. Из чисел подобия Re, Fr можно вывести новое число подобия Галилея путем исключения скорости из чисел подобия

. (3.8)

Число подобия Галилея характеризует влияние сил тяжести на процесс происходящий в среде данной вязкости.

Если движение жидкости вызвано действием подъемной силы, то целесообразно ввести в рассмотренное уравнение :

. (3.9)

Полученное соотношение названо числом подобия Архимеда:

. (3.10)

Если неоднородность плотности вызвана неоднородностью температурного поля, то подъемную силу можно связать с температурными условиями:

,

где  - коэффициент температурного расширения.

.

Полученное соотношение названо числом подобия Грасгофа:

, (3.11)

3.2.2. Обобщенное уравнение подобия теплоотдачи

Основной задачей конвективного теплообмена является установление связи между плотностью теплового потока на поверхность теплообмена (стенку), температурами стенки и жидкости. Из физических представлений следует, что в непосредственной близости от стенки существует пограничный ламинарный слой (подслой), через который тепловая энергия передается теплопроводностью. Тогда приняв во внимание гипотезу Фурье можно записать:

.

Аналитическое определение градиента можно искать при совместном решении уравнения движения, неразрывности и энергии. Однако зачастую это представляет непреодолимые трудности. В связи с этим при расчетах теплоотдачи пользуются гипотезой Ньютона:

.

Из физических представлений следует, что

; ; .

Приведя переменные к безразмерному виду, получаем:

; .

Правая часть конечного выражения характеризует распределение температур в пограничном слое у стенки, а левая часть представляет безразмерный комплекс, названный числом Нуссельта или безразмерным коэффициентом теплоотдачи:

. (3.12)

Число Нуссельта представляет соотношение между конвективным переносом теплоты от жидкости к поверхности тела и передачи энергии теплопроводностью через слой жидкости толщиной L:

.

Ранее показано, что

.

При заданных условием задачи температурах жидкости и поверхности, значение числа Нуссельта и следовательно коэффициента теплоотдачи определяется градиентом температуры в пограничном слое, который определяется гидродинамикой и энергетикой движущегося потока. В этом случае число Нуссельта может быть представлено функцией чисел подобия, представляющих физику потока:

Nu=f(Gr, Re, Eu, Х, У).

Если изменение давления при движении жидкости не наблюдается, то Eu=0 и

Nu=f(Gr, Re, Х, У)

Для определения полного комплекта чисел подобия, характеризующих явление теплопереноса (входящие в уравнение подобия тепловые числа Х и У пока не определены), необходимо учесть уравнение переноса энергии (уравнение Фурье-Кирхгофа), которое для стационарных процессов имеет вид:

Или

. (3.13)

Применив операцию приведения операторов к отношению правой и левой частей уравнения, получим:

. (3.14)

Этот безразмерный комплекс назван числом подобия Пекле. Число подобия Пекле характеризует соотношение интенсивности переноса конвекцией к интенсивности переноса теплопроводностью в жидкости.

Число подобия Пекле можно представить произведением двух чисел подобия

.

Число подобия Прандтля составлено из теплофизических характеристик, и само является теплофизической характеристикой.

Из последних рассуждений следует, что неизвестные раннее тепловые числа подобия Х и У могут быть представлены одним числом подобия Пекле. Тогда общий вид уравнения подобия теплоотдачи:

Nu=f(Re,Gr,Pe)

или Nu=f(Re,Gr,Pr). (3.15)

Последнее выражение представляет собой общий вид уравнения подобия теплоотдачи, которое характеризует влияние на безразмерный коэффициент теплоотдачи гидродинамических и тепловых процессов переноса. Если имеет место свободная конвекция, то

. (3.16)

Если газы движутся с большой скоростью, то

. (3.17)

Уравнение подобия удобно представлять в виде степенной зависимости:

. (3.18)

Степенные зависимости удобны тем, что в логарифмическом представлении они изображается прямой линией.

В состав чисел подобия входят физические параметры, которые зависят от температуры, а также линейные размеры и скорость.

Температура, размер и скорость, по которым рассчитываются числа подобия, называются определяющими параметрами.

В качестве определяющей температуры используют главным образом среднюю температуру жидкости t_ж, реже - среднюю температуру пограничного слоя t_m, и еще реже - среднюю температуру стенки t_ст. Средняя температура пограничного слоя определяется как

t_m=0,5(t_ж+t_ст).

В зависимости от того, какая температура принята в качестве определяющей, обозначение чисел подобия сопровождается соответствующим индексом – Re_ж, Re_m ,Re_ст. Иногда выбор определяющей температуры оговаривается в примечании к уравнению, тогда числа подобия записываются без индексов.

Выбор определяющего размера также оговаривается в примечании к уравнению. Определяющими размерами могут быть диаметр (для труб, сфер), высота участка (для вертикальных труб и плит), наименьший размер (для горизонтальных плит), толщина слоя жидкости. Для труб и каналов не круглого сечения в качестве определяющего размера используется эквивалентный диаметр d_экв

, (3.19)

где f – площадь сечения канала, П - смоченный периметр.

В качестве определяющей скорости принимают скорость в самом узком сечении канала.