2.2.3. Теплопроводность и теплопередача в цилиндрической стенке

Для цилиндрической стенки, неограниченно простирающейся в направлении оси Z, в осе симметричном случае, то есть при неизменных по граничным поверхностям стенки условиях, уравнение (2.17) для стационарного состояния принимает вид:

.

Используя подстановку , получим:

.

Результат интегрирования уравнения выглядит так:

. (2.37)

После операции потенцирования, получим:

Переходя к переменной и выполняя разделение переменных, имеем уравнение:

,

интегрирование которого дает искомое решение

.

Легко видеть, что плотность теплового потока не постоянна по толщине цилиндрической стенки. Действительно,

,

то есть плотность теплового потока уменьшается по мере удаления от оси, что естественно, так как поверхность, через которую проходит тепловой поток, растет пропорционально радиусу, в то время как этот тепловой поток должен оставаться постоянным.

Константы и в приведенном решении находятся из граничных условий.

Граничные условия I рода. Заданы температура внутренней поверхности стенки и температура наружной поверхности (рис. 2.4), то есть:

и .

Применяя эти граничные условия к решению (2.37), получим

; ,

Откуда находим

; .

Таким образом, искомое распределение температуры имеет вид:

, (2.38)

то есть температура по толщине цилиндрической стенки изменяется по логарифмической кривой.

Рис. 2.4. Стационарное температурное поле в цилиндрической

стенке при граничных условиях первого рода

Используя распределение (2.38) легко найти плотность теплового потока, проходящего через любую цилиндрическую поверхность внутри стенки с радиусом :

.

Тепловой поток, проходящий через трубу длиной , получается постоянным по толщине и равным:

. (2.39)

Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку единичной длины, называется линейной плотностью теплового потока (, Вт/м) и выражается следующим образом:

, (2.40)

где - линейное термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

Граничные условия II-го рода. В этом случае, как и для плоской стенки, задача не имеет единственного решения. Доказательство аналогично доказательству для плоской стенки.

Граничные условия III-го рода (теплопередача). Заданы температуры среды внутри трубы и снаружи , а также коэффициенты конвективной теплоотдачи к внутренней поверхности трубы и от наружной поверхности (рис.2.5).

Рис. 2.5. Стационарное температурное поле в цилиндрической

стенке при граничных условиях третьего рода

Запишем выражение для линейной плотности теплового потока подведенного к внутренней поверхности стенки, проходящего через стенку и отводимого от его наружной поверхности:

; ; .

Очевидно, что для сохранения стационарного режима эти три величины должны быть равны между собой, то есть . Находим разности температур:

; ; .

Суммируя правые и левые части этих уравнений, получаем:

.

Таким образом, выражение для линейной плотности теплового потока имеет вид:

, или

(2.41)

,

где величина называется линейным коэффициентом теплопередачи.

.

Определив линейную плотность теплового потока, и зная температуры среды, легко найти распределение температуры по толщине стенки при этих граничных условиях.

В случае многослойной цилиндрической стенки система равенств должна быть заменена системой учитывающей сопротивление теплопроводности всех слоев. Для стенки из слоев решения имеют вид:

; .