Решение дифференциального уравнений теплопроводности мкр для граничных условий II рода.

Для решения задач нагрева при граничных условиях II и Ш рода удобно определять температуры на осях элементарных слоев (рис.2.16).

Рис. 2.16. Схема расположения узловых точек

Сетка, отвечающая такому разбиению, носит название неравномерной сетки. Тепловая емкость поверхностных слоев толщиной сконцентрирована в точках с координатами и . По этой причине тепловой поток, вступивший на поверхность тела, не изменяется на пути , то есть температурный градиент в поверхностном слое равен истинному температурному градиенту на поверхности тела . Тогда температура поверхности определяется из уравнений

Температуры t_2,k,…,t_n-2,k определяются по следующему уравнению:

_.

Температуры t_1,k и t_n,k определяются из уравнения теплового баланса для поверхностного слоя толщиной Δx.

Решая это уравнение относительно t_1,k, получим:

По известным температурам t_0,k-1, t_1,k-1 в момент времени сначала определяют температуру на осях элементарных слоев в момент времени , а затем по известным температурам t_1,k, t_2,k по формуле:

определяют температуру поверхности.

Для устойчивости решения и низкой погрешности следует выбирать значение по величине менее 0,5.

Решение дифференциального уравнений теплопроводности МКР для граничных условий III рода. Принято, что тепловая емкость поверхностных слоев толщиной сконцентрирована в точках с координатами и . По этой причине тепловой поток, вступивший на поверхность тела, не изменяется на пути . Тогда справедливо соотношение:

Рис. 2.17. Схема расположения узловых точек

Обозначим , тогда _.

Уравнение теплового баланса для поверхностного слоя толщиной :

Это уравнение после преобразования и ввода безразмерных комплексов и принимает вид:

Так как и , последнее уравнение запишется так:

По этой формуле определяется температура в узлах вблизи поверхностей пластины. Температура в остальных внутренних точках определяется по ранее выведенным формулам.

Температура на поверхности пластин может быть определена с помощью уравнения:

2.3.7. Приближенные методы решения задач теплопроводности

Наряду с аналитическими и численными методами имеются многочисленные приближенные методы решения задач теплопроводности, основанные на приближенном, схематическом представлении процесса, учитывающие только главные его особенности. Среди них назовем метод тепловой диаграммы, пограничного слоя, регулярного мгновенного режима, исключения переменных. Рассмотрим некоторые из них.

Метод тепловой диаграммы. В основу метода тепловой диаграммы положено уравнение теплового баланса для всего нагреваемого тела.

_, .

При этом подсчитывают изменение энтальпии за весь процесс нагрева, а также среднюю величину теплового потока на поверхность тела. Продолжительность нагрева определяется из уравнения теплового баланса:

Перепад температур по сечению тела Δt и его среднюю температуру определяют исходя из параболического распределения температур по сечению нагреваемого тела:

.

Последовательность расчета по методу диаграммы следующая. Приняв температуры поверхности тела в начале и конце интервала , рассчитывают тепловые потоки в начале и конце интервала по формуле:

_.

_{Вычисляют значение среднего за период нагрева теплового потока}

Определяют разности температур в начале и конце нагрева:

где k₂ – коэффициент усреднения теплового потока (k₂=2).

Температура на оси пластины и её средняя по массе температура определяются из выражений

_,

_,

здесь k₃ – коэффициент усреднения температур по сечению тела (k₃=3 - для пластин, k₃=2 - для цилиндра и k₃=1,67 – для шара).

Значения энтальпии соответствующей температурам t_ср.н и t_ср.к находят из соответствующих таблиц.

Разность энтальпий и среднее значение теплового потока за период нагрева однозначно определяют его продолжительность.

Метод мгновенного регулярного режима. Сущность метода мгновенного регулярного режима состоит в следующем. Процесс нагрева делится на два качественно различных периода - инерционный и регулярный. В инерционный период происходит непрерывное изменение толщины нагреваемого тела в соответствии с вовлечением тела в процесс нагрева. В регулярном периоде в процессе нагреве участвует все тело, при этом толщина нагреваемого слоя постоянна и равна толщине тела. Принято допущение, что в регулярном периоде скорость нагрева во всех точках тела одинакова и равна средней величине скорости нагрева всего тела. Скорость изменения температуры тела может быть связана с приходом тела на его поверхность, в случае, если величина q_пов задана. Такое упрощение задачи эквивалентно допущению о наличии в нагреваемом слое мгновенно регулярного режима, при котором скорость изменения температур в различных точках слоя одинакова. Инерционный период представляется как совокупность регулярных состояний, отличающихся одно от другого различной толщиной нагретого слоя.

Представим решение задачи нагрева пластины методом мгновенного регулярного режима при условии постоянства теплового потока на его поверхность (q_п=const).

Решение задачи выведем отдельно для инерционного и регулярного периодов нагрева.

Инерционный период нагрева. Дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые условия запишем в виде:

где R – половина толщины тела, S – толщина нагреваемого слоя (см. рис.2.18).

Рис. 2.18. Схема симметрично нагреваемой пластины

Принимаем, что скорость нагрева в различных точках прогретого слоя толщиной S одинакова и равна средней скорости нагрева всего слоя. Эту скорость определим из уравнения теплового баланса для прогретого слоя:

Здесь m – масса нагретого слоя, с – теплоемкость материала пластины, F – площадь её поверхности. С учетом принятого допущения (), решение дифференциального уравнения имеет вид:

Согласно краевым условиям при градиент температуры равен нулю Тогда постоянная интегрирования равна:

Подставив значение постоянной интегрирования С₁ в уравнение для градиента температуры, получим:

_{Результат интегрирования этого уравнения имеет вид:}

Постоянная интегрирования С₂ определяется следующим краевым условием. При значении - величина температуры в этой точке составляет , то есть . Путем несложных преобразований получим:

_,

.

Подставив значение С₂ в выражение для температурного поля, получим

После подстановки выражения для расчета скорости нагрева слоя, получим:

Таким образом, распределение температур по толщине тела в инерционном периоде описывается уравнениями:

Зависимость между толщиной нагреваемого слоя S и временем от начала нагрева τ в инерционном периоде имеет вид:

,

где - коэффициент инерции

Регулярный период нагрева. В регулярном периоде нагрева при q_п=const и неизменной толщине нагреваемого слоя имеет место равномерный подъем температур по всему сечению с постоянной скоростью

_.

Температурное поле пластины в регулярном периоде нагрева описывается выражением:

_{Температурное поле пластины в момент окончания инерционного периода нагрева определяется подстановкой в уравнение температурного поля для инерционного периода нагрева:}

Окончательно, температурное поле пластины описывается уравнением:

_.