Скалярное произведение двух векторов

Углом между двумя векторами называется угол, на который нужно повернуть один вектор до совмещения с другим кратчайшим образом. Из такого определения угла следует, что .

Скалярным произведением двух векторов и называется число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

.

В последней формуле точка – знак скалярного умножения векторов.

,

таким образом, скалярное произведение равно произведению длины одного из векторов на проекцию второго вектора на первый.

Свойства скалярного произведения:

1. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны: .

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату скаляра (квадрату длины вектора): .

3. Переместительное свойство: .

4. Распределительное свойство: .

5. Сочетательное свойство: .

Рассмотренные свойства дают возможность обращаться со скалярным произведением, как с произведением чисел:

.

6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю:

.

Скалярное произведение одноименных ортов равно единице:

.

7. Если векторы заданы координатами , , то скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат: .

Простейшие задачи

1. Косинус угла между векторами определится по формуле:

.

2. Проекция вектора на вектор:

.

3. Условие ортогональности векторов:

.

Векторное произведение двух векторов

Правой связкой трех некомпланарных векторов , , (взятых в таком порядке) с общим началом в точке О (рис. 11) называется такое их расположение, когда кратчайший поворот первого вектора до совмещения со вторым смотрится с конца третьего вектора происходящим против хода часовой стрелки. В противном случае имеем левую связку векторов , , (рис. 12).

Рис. 11 Рис. 12

Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , такой, что

1. ;

2. и ;

3. направлен так, что связка векторов , , - правая.

Здесь знак умножения крестиком – знак векторного умножения векторов.

Свойства векторного произведения:

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда вектора и коллинеарны: ||.

2. .

Таким образом, переместительный закон для векторного произведения не выполняется.

3. Распределительное свойство: .

4. Сочетательное свойство: .

5. Векторное произведение одноименных ортов равно нулю:

.

Векторное произведение разноименных ортов определяется следующей таблицей, из которой видно, что , , и т.д.

6. Векторное произведение в координатной форме есть определитель третьего прядка, у которого первая строка – координатные орты, вторая строка – координаты первого вектора-сомножителя, третья строка – координаты второго вектора-сомножителя: .

Простейшие задачи

1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

||= ||.

2. Площадь треугольника, построенного на векторах и :

.