1.3. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Будем рассматривать системы линейных алгебраических уравнений, когда количество уравнений системы совпадает с количеством неизвестных. Рассмотрим вид и методы решения таких систем на примере систем трех уравнений с тремя неизвестными. Такая система имеет вид:
(1.1)
В
(1.1)
,
,
- искомые неизвестные;
,
,
...,
- коэффициенты при неизвестных;
,
,
- свободные члены
уравнений
системы.
Рассмотрим методы решения таких систем уравнений.
Метод Крамера
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1.1) называется главным определителем системы:
.
Теорема
Крамера:
Если главный
определитель системы (1.1) отличен от
нуля (
),
то система (1.1) имеет единственное
решение. При этом любое неизвестное
(i=1,
2, 3) определяется по формуле
,
где
-
главный определитель системы,
- определитель, получающийся из главного
определителя системы путем замены в
нем столбца коэффициентов при неизвестной
столбцом свободных членов.
П р и м е р . С использованием теоремы Крамера (методом Крамера)
решить систему:
Р е ш е н и е .
Главный определитель системы
.
Вспомогательные определители
,
,
.
Теперь
,
,
.
П р о в е р к а полученного решения
,
,
.
Все три уравнения
при найденном решении
,
,
проверились точно.
Следовательно, решение верно.
Матричный способ решения
Обозначим
,
,
,
где
- матрица коэффициентов при неизвестных,
-
матрица-столбец неизвестных,
- матрица свободных членов в системе
(1.1). Тогда систему (1.1) в матричной форме
можно записать в виде
,
(1.2)
поскольку
.
Из равенства подчеркнутых матриц в цепи следует система (1.1).
Решение матричной системы (1.2) будет
.
Таким
образом, матрица неизвестных
равна
произведению матрицы
-
матрице обратной по отношению к матрице
коэффициентов
на матрицу свободных членов
.
П р и м е р . Решим матричным способом (с использованием обратной матрицы) систему ранее решенную методом Крамера :
Р е ш е н и е . Для рассматриваемой системы
,
,
.
Строим матрицу
:
определитель
,
соответствующий матрице
,
будет
,
алгебраические
дополнения элементов определителя
,
будут
,
,
,
,
,
,
,
,
;
матрица
-
матрица алгебраических дополнений
определителя
;
матрица
.
П р о в е р к а
,
обратная матрица найдена, верно.
Теперь
=
,
из подчеркнутых
частей цепи
,
,
.
Метод Гаусса исключения неизвестных
Две системы линейных алгебраических уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:
- перестановка двух уравнений;
-умножение обеих частей одного из уравнений на любое отличное от нуля число;
-прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.
Элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквивалентную ей систему.
Используя понятие элементарных преобразований, метод Гаусса позволяет свести систему n уравнений с n неизвестными к ступенчатой эквивалентной треугольной системе, когда первое уравнение содержит все n неизвестных, второе уравнение содержит (n-1) неизвестную, третье – (n-2) неизвестных, и т.д., последнее уравнение содержит одну неизвестную.
Удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Рассмотрим метод Гаусса на примере ранее решенной двумя методами системы.
П р и м е р . Решить методом Гаусса систему:
Р е ш е н и е .
Запишем расширенную матрицу (матрицу коэффициентов и свободных членов), соответствующую решаемой системе, и последовательно преобразуем ее
.
Вторая
матрица получена из первой расширенной
матрицы системы путем деления каждого
уравнения на их коэффициенты при
неизвестной
(члены первого уравнения делились на
1, второго – на 2, третьего – на -1). Третья
матрица получена из второй путем
вычитания из элементов второго и третьего
уравнений соответствующих элементов
первого уравнения. Четвертая матрица
получена из третьей матрицы путем
деления элементов второй строки (второго
уравнения) на 2.5 и деления элементов
третьей строки на 1. Пятая матрица
получена из четвертой путем вычитания
из элементов третьей строки соответствующих
элементов второй строки. Пятой матрице
соответствует следующая ступенчатая
треугольная система
из которой, без затруднения, получаем решение
