Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейные формы

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

61.13 Кб

Скачать

☆

1. Линейные формы.

Пусть в линейном пространстве задана числовая функция векторного аргумента. То есть каждому вектору поставлено в соответствие число . Пусть – множество всех базисов пространства . Мы можем рассмотреть функцию , где ∈ , e ∈ . Мы получим обычную (инвариантную) функцию , если .

Определение. Функция называется линейной, если: a) (условие аддитивности). б) (условие однородности). В качестве значений функции будем брать действительные числа, если L – действительно и будем брать комплексные числа, если L – комплексно.

Пример Пусть – пространство многочленов степени не выше .

Пусть каждому многочлену из ставится в соответствие число по формуле:

(1)

условия a) и b) выполняются вследствие известных свойств определённого интеграла. Значит является линейной в . Рассмотрим

(2)

Обозначим через функцию на базисном векторе :

(3)

Если базис фиксирован, то - вполне определённые числа. Подставив (3) в (2) получим выражение функции в виде однородного многочлена первой степени относительно координат вектора:

. (4)

Однородные многочлены степени принято называть формами степени k. При употребляют термин “линейные формы”, при , термин “квадратичные формы”.

Теорема 1

Множество всех линейных функций, заданных в пространстве L представляет собой линейное пространство.

Определение

Линейное пространство всех линейных функций, определённых на L называется сопряжённым пространству L.

Теорема 2

Если линейное пространство n-мерно, то сопряжённое вниз пространство также n-мерно.

2. Билинейные формы.

Числовая функция двух векторных аргументов называется билинейной, если она линейна по каждому аргументу. То есть:

Здесь – любые векторы пространства – произвольное число.

Пусть – линейное – мерное пространство, – базис в нём. И пусть аргументы билинейной функции разложены по этому базису

Тогда:

(1)

Введём обозначения:

(2)

Тогда получим:

(3)

Формула (3) выражает функцию в координатах по данному базису.

Множество всех билинейных форм, заданных в линейном пространстве L, образует линейное пространство.

Определение

Билинейная форма называется симметричной,

если следует

3. Матрица билинейной формы.

Пусть дана произвольная билинейная форма:

– матрица билинейной формы.

Определение

Рангом билинейной формы называется ранг её матрицы.

4. Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм. Сигнатура.

Пусть билинейная форма является симметричной . Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична её матрица – транспонированная для A матрица.

В самом деле:

Если , то

Функция называется квадратичной формой, отвечающей данной симметричной форме

Основная теорема о квадратичных формах

Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Назовём нормальным видом квадратичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или -1.

Всякую действительную квадратичную форму F можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к нормальному виду.

Теорема (закон инерции действительных квадратичных форм)

Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным линейным невырожденным преобразованием не зависит от выбора этого преобразования.

Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма f , называется положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции, а разность между положительным и отрицательным индексами инерции – сигнатурой формы f .

Теорема

Две квадратичные формы от n – неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

5. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра для положительно определённых и отрицательно определённых квадратичных форм.

Квадратичная форма A, определённая в действительном линейном пространстве называется положительно (отрицательно) определённой, если:

∀ ,

A > 0 (A <0)

Пусть матрица квадратичной формы .

– последовательность главных миноров матрицы .

Критерием положительной определённости квадратичной формы является определенный критерий.

Критерий Сильвестра

Для того, чтобы квадратичная форма A была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы были положительны

Для того, чтобы квадратичная форма A была отрицательно определённой необходимо и достаточно, чтобы:

Пример

Выяснить, является ли положительно определённой или отрицательно определённой квадратичная форма

Запишем матрицу:

=1>0.

Согласно критерию Сильвестра данная квадратичная форма принимает только положительные значения.

Пример

Определить какие квадратичные формы являются положительно, либо отрицательно определёнными:

а) Запишем матрицу:

Квадратичная форма является отрицательно определённой.

б) Запишем матрицу:

Квадратичная форма общего вида.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, Якоби и ортогональным преобразованием.

Метод Лагранжа

Каждую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду.

Пример 1

Дана квадратичная форма . Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, записав соответствующие преобразования переменных.

Коэффициент при равен 3, 3≠0. Выделим в квадратичной форме члены, содержащие

Дополним до полного квадрата членами, не содержащими x₂, и сразу вычтем

Введем обозначение исходя из принципа: в квадратичной форме пропадает, а в квадратичной форме появляется. Приводя подобные члены, перепишем квадратичную форму

К квадратичной форме снова применим метод выделения полного квадрата.

Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащими

Обозначим через . Приводя подобные, перепишем исходную квадратичную форму

Выделять снова полный квадрат уже не надо.

Обозначим . Получим следующий канонический вид квадратичной формы

где

Запишем преобразование переменных в матричной форме

·X .

Пример 2

Найти канонический вид и невырожденное преобразование переменных, приводящее к этому виду квадратичную форму .

Так как в этой форме отсутствуют квадраты, то

(1)

Применив (2)

получим канонический вид формы

Из (2) найдем .

Подставляя эти выражения в (1) получим искомое преобразование

Метод Якоби

Пример 1

Для применения этого метода квадратичная форма

(1)

должна удовлетворять некоторым специальным условиям.

Пусть квадратичная форма (1) имеет ранг и миноры, стоящие в левом верхнем углу матрицы формы от 1-го до -го порядка отличны от нуля

(2)

Тогда канонический вид формы (1) можно найти по формуле Якоби

(3)

Ортогональное преобразование

Квадратичная матрица является ортогональной, если ее элементы действительны и выполняется одно из пяти следующих эквивалентных свойств:

Строки образуют ортонормированную систему;
Столбцы образуют ортонормированную систему;
;
;
– транспонированная матрица для ;

Рассмотрим n-квадратичную форму

(1)

квадратичной формы (1) симметрична. Она может быть представлена в виде

где – диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы , а – ортогональная матрица. Столбцы матрицы являются координатами некоторого ортонормированного базиса , в котором имеет диагональный вид и следовательно квадратичная форма – искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соответствием

Пример 1

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму , заданную в евклидовом пространстве к каноническому виду. Написать этот канонический вид.