Разложение вектора по базису
Вектор
вида
,
где
(
)
– некоторые числа, называется линейной
комбинацией
данных
векторов
.
–
коэффициенты линейной комбинации.
Если вектор
представлен как линейная комбинация
некоторых векторов, то говорят, что он
разложен
по этим
векторам.
Справедливы следующие теоремы
Т
е о р е м а 1. Пусть даны два неколлинеарных
вектора
и
.
Любой компланарный с ними вектор
раскладывается по ним и такое разложение
единственно. Т. е.,
=
+
,
где
и
единственные для этого вектора
вполне определенные числа.
Т
е о р е м а 2. Пусть даны три некомпланарных
вектора
,
и
.
Любой вектор
раскладывается по ним и такое разложение
единственно. Т. е.,
=
+
+
.
Базисом
в пространстве
называются три некомпланарных вектора,
взятых в определенном порядке. Базис
позволяет однозначно сопоставить
вектору упорядоченную тройку чисел
,
,
-
коэффициентов разложения этого вектора
по векторам базиса. С другой стороны,
каждой упорядоченной тройке чисел при
помощи базиса сопоставляется единственный
вектор. Если
,
,
- базис и
=
+
+
,
то числа
,
,
называются координатами
вектора
в данном базисе, при этом пишут
. Аналогично
дается определение базиса на плоскости,
когда вектор имеет две координаты
.
Действия над векторами, заданными своими координатами:
1.При умножении вектора на число все его координаты умножаются
на
это число. Т.е.,
(
+
+
)=
+
+
и
{
,
,
}.
2.
При сложении векторов складываются их
соответствующие координаты. Т. е., если
в выбранном базисе
,
,
то
.
Аффинные координаты
Аффинные
координаты
в пространстве
определяются (рис. 4) заданием базиса
,
,
и точки О –
начала координат (affinis
– смежный,
соседний).
Рис. 4
Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат: первая – ось абсцисс; вторая – ось ординат; третья – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат – координатные плоскости.
Пусть
в пространстве задана точка М.
-
радиус-вектор
точки М.
Тогда разложение по векторам базиса
=
+
+
.
Аффинными
координатами
точки М
называются координаты - радиус-вектора
в
рассматриваемой системе координат,
пишут
,
где
- абсцисса,
- ордината,
- аппликата точки М.
В заданной
аффинной системе координат координаты
фиксированной точки определяются
однозначно.
С другой стороны, если задана система
координат, то в ней каждой упорядоченной
тройке чисел
ставится в соответствие единственная
точка.
Аффинная система координат на плоскости
определяет такое же соответствие между
точками и упорядоченными парами чисел.
З
а д а ч а. Пусть в заданной аффинной
системе
и
.
Требуется найти координаты вектора
.
Рис. 5
Р
е ш е н и е . Из чертежа (рис. 5) видно
,
тогда
+
+
+
+
=
=
.
Таким
образом,
,
то есть, координаты вектора равны
разности соответствующих координат
конца и начала вектора.