Свойства определителей
Сформулируем свойства и проследим их выполнение на числовых примерах.
1. Определитель не изменит своего значения, если в нем строки заменить соответствующими столбцами. Определитель, в котором строки заменены соответствующими столбцами, называется транспонированным по отношению к исходному определителю.
П р и м е р . Пусть исходный определитель
.
Тогда транспонированный определитель
.
Первая
строка определителя
стала первым столбцом определителя
.
Первый, второй, третий (слева направо)
элементы этой первой строки в
стали соответственно первым, вторым,
третьим (сверху вниз) элементами первого
столбца в
.
Аналогично строятся второй и третий
столбцы определителя
.
Определитель
получится из определителя
,
если элементы определителя
повернуть относительно главной диагонали,
как вокруг фиксированной оси, на
.
,
.
Таким
образом, на примере показали, что
=
.
Из этого первого свойства следует равноправие строк и столбцов в определителе и впредь мы будем их называть рядами.
2. Если в определителе поменять местами два параллельных ряда, то знак определителя изменится на противоположный, абсолютная величина его не изменится.
П р и м е р .
,
.
В
по сравнению
с
мы поменяли местами первый и третий
горизонтальные ряды и показали, что
=
.
С л е д с т в и е . Определитель имеющий два одинаковых параллельных ряда равен нулю.
П р и м е р .
.
3. При умножении определителя на число, на это число можно умножить любой ряд определителя.
П р и м е р .
.
В
случае
на тройку умножили первый горизонтальный
ряд определителя
,
в случае
умножали на тройку второй вертикальный
ряд.
Таким образом, сомножитель общий для элементов некоторого ряда определителя можно выносить за знак определителя.
С л е д с т в и я :
1) определитель, содержащий целый ряд нулей равен нулю;
2) определитель, содержащий два пропорциональных параллельных ряда равен нулю.
4. Если элементы некоторого ряда определителя представлены в виде суммы двух (или большего числа) слагаемых, то исходный определитель можно представить в виде суммы двух (или большего числа) определителей.
П р и м е р .
где
,
.
С л е д с т в и е . Если к элементам некоторого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, предварительно умножив их на одно и то же число, то значение определителя не изменится.
П р и м е р .
Определитель
получен путем прибавления к элементам
первого столбца определителя
соответствующих элементов второго
столбца,
помноженных на два.
Миноры и алгебраические дополнения определителей. Разложение определителей по элементам ряда
Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся их исходного определителя путем вычеркивания столбца и строки, на пересечении которых находится рассматриваемый элемент.
Алгебраическим
дополнением
некоторого
элемента определителя
называется его минор, взятый со своим
или противоположным знаком по следующему
правилу
,
где
- алгебраическое дополнение элемента
,
- минор этого элемента.
П р и м е р . Для определителя четвертого порядка
найти
миноры и алгебраические дополнения
элементов
и
.
Р е ш е н и е .
,
,
,
.
Правило разложения определителя по элементам некоторого ряда: всякий определитель равен сумме произведений элементов некоторого (любого) ряда на их алгебраические дополнения.
Так, например,
+
Записано разложение определителя третьего порядка по элементам второй строки. Последняя строка, в приведенных вычислениях, полностью совпадает со значением определителя, вычисленного ранее по правилу Саррюса.
Таким
образом, определяя определитель n
– го порядка, как квадратную структуру
состоящую из
элементов, расположенных в n
столбцах и n
строках,
сможем вычислять такие определители
путем последовательного понижения
порядков, разлагая их по элементам того
или иного ряда.
П р и м е р .
Для
данного определителя
найти
миноры и алгебраические дополнения
элементов
и
.
Используя
свойства определителей, вычислить
определитель
:
a) разложив его по элементам второй строки;
б) разложив его по элементам третьего столбца;
в) получив предварительно нули во второй строке;
г) получив предварительно нули под главной диагональю.
Р е ш е н и е .
,
,
,
.
а)
=
.
б)
=
.
в)
.
Последовательно
из первого определителя получили второй
определитель путем прибавления к
элементам второго столбца соответствующих
элементов первого столбца умноженных
на -3 (получили во втором определителе
).
Из второго определителя получили третий
путем прибавления к элементам третьего
столбца соответствующих элементов
первого столбца умноженных на -5 (получили
в третьем определителе
).
Из третьего определителя получили
четвертый путем прибавления к элементам
четвертого столбца соответствующих
элементов первого столбца домноженных
на -1 (получили в четвертом определителе
).
Теперь вторая строка определителя
содержит три нулевых элемента, и
определитель четвертого порядка
представляется одним определителем
третьего порядка (при разложении по
элементам второй строки).
г)
.
Последовательно
из первого определителя получили второй
определитель путем перестановки местами
первой и второй строки (во втором
определителе получили
).
Из второго определителя получили третий
путем прибавления к элементам второй
и третьей строки соответствующих
элементов первой строки, предварительно
домножив их соответственно на -2 и -6
(получили в третьем определителе
).
Из третьего определителя получили
четвертый путем перестановки местами
второй и четвертой строк (получили в
четвертом определителе
).
Из четвертого пятый определитель
получили путем прибавления к элементам
третьей и четвертой строк соответствующих
элементов второй строки, предварительно
помножив их соответственно на 18 и на
5 (получили в пятом определителе
).
Из пятого определителя получили шестой
путем вынесения за знак определителя
восьмерки - общего для четвертой строки
множителя и перестановки местами третьей
и четвертой строк (получили в шестом
определителе
).
Из шестого определителя седьмой получили
путем прибавления к элементам четвертой
строки соответствующих элементов
третьей строки, предварительно домножив
их на -25 (получили в седьмом определителе
).
У последнего седьмого определителя под
главной диагональю имеем нули, а такой
определитель равен произведению
элементов стоящих на главной диагонали.