Лекція 9 Тема: Невід’ємні розв’язки системи лінійних нерівностей План:

1. Теорема Фаркаша.

2. Критерій існування невід’ємних розв’язків системи m лінійних нерівностей з n невідомими.

3. Вузловий мінор.

4. Теорема про існування додатних (від’ємних) розв’язків системи лінійних нерівностей.

Короткий зміст лекції:

Якщо нерівність є наслідком сумісної системи , то нерівність є наслідком системи .

Нерівність є наслідком сумісної системи , тоді і тільки тоді, коли нерівність є наслідком системи

Теорема Фаркаша. Якщо нерівність є наслідком сумісної системи , то існують , для яких стверджується тотожне відносно співвідношення .

З теореми Фаркаша випливає наступна теорема:

Системі лінійних нерівностей

(1)

поставимо у відповідність систему

(2)

Система лінійних нерівностей (1) має невід’ємний розв’язок тоді і тільки тоді, коли система нерівностей (2) не має невід’ємного розв’язку.

Доведення.

Нехай система (1) має невід’ємний розв’язок . Тоді стверджується нерівність . Покажемо, що система (2) не має невід’ємного розв’язку.

Припустимо, що система (2) має невід’ємний розв’язок . Тоді справедливі нерівності:

Оскільки числа – невід’ємні, то, з одного боку, з нерівностей випливає справедливість нерівності

,

(3)

з іншого боку, оскільки – невід’ємні числа, то з нерівностей випливає, що , а тому нерівність (3) не може мати місця. Отже, припущення, що система (2) має невід’ємний розв’язок, приводить до суперечності, а тому воно невірне.

Припустимо, що система (1) не має невід’ємного розв’язку. Доведемо, що система нерівностей (2) в цьому випадку має невід’ємний розв’язок.

Якщо система нерівностей (1) не має невід’ємного розв’язку, то система рівнянь:

(4)

також не має невід’ємного розв’язку, бо якщо ця остання система мала б невід’ємний розв’язок

,

то система невідомих чиселзадовольняла б системі нерівностей (1).

Оскільки система рівнянь (4) не має невід’ємного розв’язку, то система нерівностей

має деякий розв’язок . Але тоді – невід’ємний розв’язок системи нерівностей

тобто невід’ємний розв’язок системи нерівностей (2).

Теорему доведено.

Отже, а) або існують невід’ємні розв’язки системи (1) і не існує невід’ємних розв’язків системи (2); б) або існують невід’ємні розв’язки системи (2) і не існує невід’ємних розв’язків системи (1).

Означення. Відмінний від нуля мінор ∆ матриці А системи лінійних нерівностей (відповідно системи лінійних рівнянь ) називається вузловим мінором цієї системи, якщо відношення до нього всіх визначників, одержаним отороченням його за допомогою довільного рядка матриці А і стовпця вільних членів , невід’ємне.

Вузловий мінор ∆ системи лінійних нерівностей (відповідно системи лінійних рівнянь ) називається невід’ємно (недодатно) орієнтованим, якщо відношення до нього кожного визначника, одержаного з нього заміною деякого стовпця стовпцем вільних членів , невід’ємне (недодатне).

Справедливі наступні теореми:

1. Якщо система лінійних нерівностей (відповідно система лінійних рівнянь ) рангу r>0 не має нульового розв’язку, то для того, щоб вона мала додатний (від’ємний) розв’язок, необхідно і достатньо, щоб хоч би один мінор матриці системи був невід’ємно (недодатно) орієнтованим вузловим мінором цієї системи.

2. Щоб система (аналогічно до системи нерівностей ) мала хоча б один строго додатний розв’язок, необхідно і достатньо, щоб система () мала хоча б один невід’ємний розв’язок.

Для існування строго від’ємного розв’язку необхідно і достатньо, щоб система

мала хоч би один недодатний розв’язок.

Контрольні питання для самоперевірки:

1. Сформулюйте означення наслідку системи лінійних нерівностей .

2. Необхідна і достатня умова того, щоб нерівність була наслідком сумісної системи нерівностей .

3. Сформулюйте теорему Фаркаша.

4. Доведіть теорему про існування невід’ємних розв’язків системи лінійних нерівностей.

5. Дайте визначення вузлового мінору.

6. Який вузловий мінор називається додатно (від’ємно) орієнтованим?

7. Умови існування додатних (від’ємних) розв’язків системи лінійних нерівностей за допомогою вузлового мінору.

8. З’ясувати, чи має наступна система нерівностей невід’ємні розв’язки::

9. Для наступних систем лінійних нерівностей з’ясувати, чи мають вони:

а) додатні розв’язки;

б) від’ємні розв’язки;

в) строго додатні розв’язки;

г) строго від’ємні розв’язки:

1. 2)

3) 4)

Література:

1. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел, ч. ІІ – К.: Вища шк., 1980. – 402 с., гл. І, §2,4.

2. С.Г. Колесник, В. В. Цыбуленко. Алгебра и теория чисел, ч. ІІ. – Х.: ХГПИ, 1992. – Гл. V, §1,3.